Wat is interpolatie?

Interpolatie omvat het ontdekken van een patroon in een set gegevenspunten om een ​​waarde tussen twee punten te schatten. Lineaire interpolatie is een van de eenvoudigste manieren om te interpoleren. Een lijn die twee punten verbindt, wordt gebruikt om tussenliggende waarden te schatten. Polynomen van hogere orde kunnen lineaire functies vervangen voor nauwkeurigere, maar gecompliceerdere resultaten. Interpolatie kan worden vergeleken met extrapolatie, die wordt gebruikt om waarden buiten een set punten te schatten in plaats van ertussen.

Een afzonderlijke set gegevenspunten heeft punten met twee of meer coördinaten. In een typische XY-spreidingsplot is de horizontale variabele x en de verticale variabele y. Gegevenspunten met zowel een x- als een y-coördinaat kunnen in deze grafiek worden uitgezet voor eenvoudige visualisatie. In praktische toepassingen vertegenwoordigen zowel x als y eindige reële hoeveelheden. X stelt over het algemeen een onafhankelijke variabele voor, zoals tijd of ruimte, terwijl y een afhankelijke variabele voorstelt, zoals populatie.

Vaak kunnen gegevens alleen op afzonderlijke punten worden verzameld. In het voorbeeld van het monitoren van de bevolking van een land kan een volkstelling alleen op bepaalde tijden worden gehouden. Deze metingen kunnen worden uitgezet als afzonderlijke gegevenspunten op een XY-grafiek.

Als er slechts om de vijf jaar een volkstelling wordt gehouden, is het onmogelijk om de exacte populatie tussen volkstellingen te weten. Bij lineaire interpolatie zijn twee gegevenspunten verbonden met een lineaire functie. Dit betekent dat wordt aangenomen dat de afhankelijke variabele (populatie) met een constante snelheid verandert om het volgende gegevenspunt te bereiken. Als de populatie één jaar na een volkstelling nodig is, kan men de twee gegevenspunten lineair interpoleren om een ​​tussenwaarde te schatten op basis van de verbindingslijn. Het is meestal duidelijk dat de echte variabele niet lineair verandert tussen gegevenspunten, maar deze vereenvoudiging is vaak voldoende nauwkeurig.

Soms introduceert lineaire interpolatie echter teveel fouten in zijn schattingen. De bevolking vertoont bijvoorbeeld exponentiële groei in veel scenario's. In exponentiële groei neemt de groeisnelheid zelf toe - een hogere populatie leidt tot meer geboorten, waardoor de totale snelheid waarmee de populatie toeneemt, toeneemt. In een XY-spreidingsdiagram zou dit soort gedrag een trend vertonen die "opwaarts gebogen" is. Een meer nauwkeurige interpolatiemethode kan geschikt zijn voor dit soort onderzoek.

Polynomiale interpolatie omvat het verbinden van talloze datapunten met een polynoomfunctie. Een lineaire functie is eigenlijk een eenvoudige variëteit van een polynoomfunctie - namelijk een polynoom van orde één. Polynomen kunnen echter hogere orders hebben dan één: order twee is een parabool, order drie is een kubieke functie, enzovoort. Een set bevolkingsgegevenspunten kan beter worden geïnterpoleerd met een polynoomfunctie dan een lineaire functie omdat de eerstgenoemde op en neer kan krommen om overeen te komen met de gegevens.