Was ist Interpolation?
Bei der Interpolation wird ein Muster in einem Satz von Datenpunkten entdeckt, um einen Wert zwischen zwei Punkten zu schätzen. Die lineare Interpolation ist eine der einfachsten Möglichkeiten zum Interpolieren. Eine Linie zwischen zwei Punkten wird zum Schätzen von Zwischenwerten verwendet. Polynome höherer Ordnung können lineare Funktionen ersetzen, um genauere, aber kompliziertere Ergebnisse zu erzielen. Die Interpolation kann der Extrapolation gegenübergestellt werden, die zum Schätzen von Werten außerhalb eines Satzes von Punkten anstatt zwischen diesen verwendet wird.
Ein diskreter Satz von Datenpunkten weist Punkte mit zwei oder mehr Koordinaten auf. In einem typischen XY-Streudiagramm ist die horizontale Variable x und die vertikale Variable y. Datenpunkte mit einer x- und einer y-Koordinate können zur einfachen Visualisierung in diesem Diagramm dargestellt werden. In praktischen Anwendungen stehen sowohl x als auch y für endliche reale Größen. X steht im Allgemeinen für eine unabhängige Variable wie Zeit oder Raum, während y für eine abhängige Variable wie Grundgesamtheit steht.
Oft können Daten nur an diskreten Punkten gesammelt werden. Im Beispiel der Überwachung der Bevölkerung eines Landes kann eine Volkszählung nur zu bestimmten Zeiten durchgeführt werden. Diese Messungen könnten als diskrete Datenpunkte in einem XY-Diagramm aufgezeichnet werden.
Wenn nur alle fünf Jahre eine Volkszählung durchgeführt wird, ist es unmöglich, die genaue Bevölkerungszahl zwischen den Volkszählungen zu ermitteln. Bei der linearen Interpolation werden zwei Datenpunkte mit einer linearen Funktion verbunden. Dies bedeutet, dass angenommen wird, dass sich die abhängige Variable (Grundgesamtheit) mit einer konstanten Rate ändert, um den nächsten Datenpunkt zu erreichen. Wenn die Population ein Jahr nach einer Volkszählung benötigt wird, könnte man die beiden Datenpunkte linear interpolieren, um einen Zwischenwert basierend auf der Verbindungslinie zu schätzen. Es ist normalerweise offensichtlich, dass sich die reale Variable zwischen Datenpunkten nicht linear ändert, aber diese Vereinfachung ist häufig ausreichend genau.
Manchmal führt die lineare Interpolation jedoch zu einem zu großen Fehler in den Schätzungen. Beispielsweise weist die Bevölkerung in vielen Szenarien ein exponentielles Wachstum auf. Beim exponentiellen Wachstum nimmt die Wachstumsrate selbst zu - eine höhere Population führt zu mehr Geburten, wodurch sich die Gesamtzahl der Bevölkerungszuwächse erhöht. In einem XY-Streudiagramm würde diese Art von Verhalten einen Trend anzeigen, der nach oben gekrümmt ist. Eine genauere Interpolationsmethode könnte für diese Art von Studie geeignet sein.
Bei der Polynominterpolation werden mehrere Datenpunkte mit einer Polynomfunktion verbunden. Eine lineare Funktion ist eigentlich eine einfache Variante einer Polynomfunktion, nämlich ein Polynom der ersten Ordnung. Polynome können jedoch höhere Ordnungen als eins haben: Ordnung zwei ist eine Parabel, Ordnung drei ist eine kubische Funktion und so weiter. Eine Menge von Populationsdatenpunkten kann mit einer Polynomfunktion besser interpoliert werden als mit einer linearen Funktion, da erstere nach oben und unten gekrümmt werden kann, um mit den Daten übereinzustimmen.