Was ist Interpolation?
Interpolation besteht darin, ein Muster in einer Reihe von Datenpunkten zu entdecken, um einen Wert zwischen zwei Punkten zu schätzen. Lineare Interpolation ist eine der einfachsten Möglichkeiten, um zu interpolieren - eine Linie, die zwei Punkte verbindet, wird verwendet, um Zwischenwerte zu schätzen. Polynome höherer Ordnung können lineare Funktionen für genauere, aber kompliziertere Ergebnisse ersetzen. Die Interpolation kann mit der Extrapolation kontrastiert werden, mit der die Werte außerhalb von Punkten anstelle von ihnen die Werte außen geschätzt werden.
Ein diskreter Satz von Datenpunkten hat Punkte mit zwei oder mehr Koordinaten. In einem typischen XY -Streudiagramm ist die horizontale Variable x und die vertikale Variable ist y. Datenpunkte mit einer X- und Y -Koordinate können in diesem Diagramm zur einfachen Visualisierung aufgetragen werden. In praktischen Anwendungen stellen sowohl X als auch Y endliche reale Mengen dar. X repräsentiert im Allgemeinen eine unabhängige Variable wie Zeit oder Raum, während y eine abhängige Variable wie die Bevölkerung darstellt.
häufigMal können Daten nur an diskreten Punkten gesammelt werden. Im Beispiel der Überwachung der Bevölkerung eines Landes kann eine Volkszählung nur zu bestimmten Zeiten durchgeführt werden. Diese Messungen könnten als diskrete Datenpunkte in einem XY -Diagramm dargestellt werden.
Wenn nur alle fünf Jahre eine Volkszählung durchgeführt wird, ist es unmöglich, die genaue Bevölkerung zwischen Volkszählungen zu kennen. Bei der linearen Interpolation sind zwei Datenpunkte mit einer linearen Funktion verbunden. Dies bedeutet, dass sich angenommen wird, dass sich die abhängige Variable (Population) mit konstanter Geschwindigkeit ändert, um den nächsten Datenpunkt zu erreichen. Wenn die Bevölkerung ein Jahr nach einer Volkszählung erforderlich ist, könnte man die beiden Datenpunkte linear interpolieren, um einen Zwischenwert basierend auf der Verbindungslinie zu schätzen. Es ist in der Regel offensichtlich, dass sich die reale Variable nicht linear zwischen Datenpunkten ändert, aber diese Vereinfachung ist häufig ausreichend genau.
Manchmal jedoch lineare InterpolATion führt zu viel Fehler in den Schätzungen. Die Bevölkerung zeigt beispielsweise in vielen Szenarien ein exponentielles Wachstum. Im exponentiellen Wachstum steigt die Wachstumsrate selbst - eine höhere Bevölkerung führt zu mehr Geburten, was die Gesamtquote erhöht, durch die die Bevölkerung steigt. In einer XY -Streuhandlung würde diese Art von Verhalten einen Trend zeigen, der „nach oben gekrümmt“ wird. Eine genauere Methode der Interpolation kann für diese Art von Studie geeignet sein.
polynomiale Interpolation beinhaltet die Verbindung zahlreicher Datenpunkte mit einer Polynomfunktion. Eine lineare Funktion ist eigentlich eine einfache Vielfalt einer Polynomfunktion - nämlich ein Polynom der Ordnung. Polynome können jedoch höhere Bestellungen haben als eine: Bestell zwei ist eine Parabola, Reihenfolge drei ist eine Kubikfunktion und so weiter. Ein Satz von Bevölkerungsdatenpunkten könnte besser mit einer Polynomfunktion interpoliert sein als eine lineare Funktion, da erstere nach oben und unten krümmen kann, um den Daten zu entsprechen.