Vad är interpolering?
Interpolering innebär att man upptäcker ett mönster i en uppsättning datapunkter för att uppskatta ett värde mellan två punkter. Linjär interpolering är ett av de enklaste sätten att interpolera - en linje som förbinder två punkter används för att uppskatta mellanvärden. Polynom med högre ordning kan ersätta linjära funktioner för mer exakta, men mer komplicerade, resultat. Interpolering kan kontrasteras med extrapolering, som används för att uppskatta värden utanför en uppsättning punkter istället för mellan dem.
En diskret uppsättning datapunkter har punkter med två eller flera koordinater. I en typisk XY-spridningsdiagram är den horisontella variabeln x och den vertikala variabeln är y. Datapunkter med både en x- och y-koordinat kan ritas på denna graf för enkel visualisering. I praktiska tillämpningar representerar både x och y begränsade verkliga mängder. X representerar i allmänhet en oberoende variabel, såsom tid eller rum, medan y representerar en beroende variabel, såsom befolkning.
Ofta kan data bara samlas in på diskreta punkter. I exemplet med övervakning av ett lands befolkning kan en folkräkning endast tas vid vissa tidpunkter. Dessa mätningar kan plottas som diskreta datapunkter i ett XY-diagram.
Om en folkräkning endast tas vart femte år, är det omöjligt att veta den exakta befolkningen mellan folkräkningar. Vid linjär interpolation är två datapunkter anslutna med en linjär funktion. Detta innebär att den beroende variabeln (populationen) antas ändras med en konstant hastighet för att nå nästa datapunkt. Om befolkningen ett år efter en folkräkning behövs kan man linjärt interpolera de två datapunkterna för att uppskatta ett mellanvärde baserat på anslutningslinjen. Det är vanligtvis uppenbart att den verkliga variabeln inte ändras linjärt mellan datapunkter, men denna förenkling är ofta tillräckligt korrekt.
Ibland introducerar dock linjär interpolering för mycket fel i sina uppskattningar. Befolkningen visar till exempel exponentiell tillväxt i många scenarier. I exponentiell tillväxt ökar tillväxttakten i sig - en högre befolkning leder till fler födelser, vilket ökar den totala hastigheten med vilken befolkningen ökar. I en XY-spridningsdiagram skulle denna typ av beteende visa en trend som "kröks uppåt." En mer exakt metod för interpolering kan vara lämplig för den här typen av studier.
Polynominterpolation innebär att många datapunkter ansluts till en polynomfunktion. En linjär funktion är faktiskt en enkel variation av en polynomfunktion - nämligen ett polynom av ordningsfunktion. Polynomier kan dock ha högre order än en: ordning två är en parabola, ordning tre är en kubisk funktion, och så vidare. En uppsättning populationsdatapunkter kan bättre interpoleras med en polynomfunktion än en linjär funktion eftersom den förstnämnda kan böjas upp och ner för att matcha data.