Co je interpolace?

Interpolace zahrnuje nalezení vzoru v sadě datových bodů pro odhad hodnoty mezi dvěma body. Lineární interpolace je jedním z nejjednodušších způsobů interpolace - k odhadu mezilehlých hodnot se používá čára spojující dva body. Polynomy vyššího řádu mohou nahradit lineární funkce pro přesnější, ale složitější výsledky. Interpolaci lze porovnat s extrapolací, která se používá k odhadu hodnot mimo soubor bodů namísto mezi nimi.

Diskrétní sada datových bodů má body se dvěma nebo více souřadnicemi. V typickém grafu rozptylu XY je horizontální proměnná x a vertikální proměnná y. Pro snadnou vizualizaci lze na tomto grafu vykreslit datové body s souřadnicemi xay. V praktických aplikacích představují xay y konečná množství v reálném světě. X obecně představuje nezávislou proměnnou, jako je čas nebo prostor, zatímco y představuje závislou proměnnou, jako je populace.

Data mohou být často shromažďována pouze v diskrétních bodech. V příkladu sledování populace země lze sčítání lidu provést pouze v určitých časech. Tato měření by mohla být vykreslena jako diskrétní datové body na grafu XY.

Pokud se sčítání lidu provádí pouze každých pět let, je nemožné znát přesnou populaci mezi sčítáními. V lineární interpolaci jsou dva datové body spojeny s lineární funkcí. To znamená, že se předpokládá, že závislá proměnná (populace) se mění konstantní rychlostí, aby dosáhla dalšího datového bodu. Pokud je potřeba populace jeden rok po sčítání, bylo by možné lineárně interpolovat dva datové body pro odhad střední hodnoty na základě spojovací čáry. Je obvykle zřejmé, že skutečná proměnná se mezi datovými body lineárně nemění, ale toto zjednodušení je často dostatečně přesné.

Lineární interpolace však někdy ve svých odhadech způsobuje příliš mnoho chyb. Například populace vykazuje exponenciální růst v mnoha scénářích. V exponenciálním růstu roste sama míra růstu - vyšší populace vede k většímu počtu narozených, což zvyšuje celkovou míru růstu populace. V grafu rozptylu XY by tento druh chování ukazoval trend „zakřivený vzhůru“. Pro tento druh studie může být vhodná přesnější metoda interpolace.

Polynomiální interpolace zahrnuje spojení mnoha datových bodů s polynomiální funkcí. Lineární funkce je ve skutečnosti jednoduchá paleta polynomiální funkce - jmenovitě polynom řádové. Polynomy však mohou mít vyšší řády než jeden: řád dva je parabola, řád tři je krychlová funkce atd. Soubor datových bodů populace může být lépe interpolován s polynomiální funkcí než lineární funkce, protože první může křivku nahoru a dolů, aby odpovídala datům.