Was ist der natürliche Logarithmus?
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus mit der Basis e . Der schottische Mathematiker John Napier (1550-1617) erfand den Logarithmus. Obwohl er das Konzept des natürlichen Logarithmus selbst nicht eingeführt hat, wird die Funktion manchmal als napierianischer Logarithmus bezeichnet. Der natürliche Logarithmus wird in zahlreichen wissenschaftlichen und technischen Anwendungen verwendet.
John Napier entwickelte den Namen "Logarithmus" als Kombination der griechischen Wörter " Logos" und " Arithmus" . Die englischen Übersetzungen lauten "ratio" bzw. "numbers". Napier arbeitete 20 Jahre lang an seiner Theorie der Logarithmen und veröffentlichte seine Arbeit 1614 im Buch Mirifici Logarithmorum canonis descriptio . Die englische Übersetzung des Titels lautet A Description of the Marvelous Rule of Logarithms .
Der natürliche Logarithmus wird als der Logarithmus der Basis e charakterisiert, der manchmal Napiers Konstante genannt wird. Diese Nummer wird auch als Euler-Nummer bezeichnet. Der Buchstabe "e" wird zu Ehren von Leonhard Euler (1707-1783) verwendet und wurde erstmals 1731 von Euler selbst in einem Brief an Christian Goldbach verwendet.
Die Umkehrung der natürlichen Exponentialfunktion, definiert als f (x) = e x , ist die natürliche logarithmische Funktion. Diese Funktion wird geschrieben als f (x) = ln (x). Dieselbe Funktion kann wie folgt geschrieben werden: f (x) = log e (x), aber die Standardnotation lautet f (x) = ln (x).
Der Bereich des natürlichen Logarithmus ist (0, unendlich) und der Bereich ist (-unendlich, unendlich). Der Graph dieser Funktion ist konkav und zeigt nach unten. Die Funktion selbst nimmt zu, kontinuierlich und eins zu eins.
Der natürliche Logarithmus von 1 ist gleich 0. Unter der Annahme, dass a und b positive Zahlen sind, ist ln (a * b) gleich ln (a) + ln (b) und ln (a / b) = ln (a) - In (b). Wenn a und b positive Zahlen sind und n eine rationale Zahl ist, ist ln (a n ) = n * ln (a). Diese Eigenschaften natürlicher Logarithmen sind charakteristisch für alle logarithmischen Funktionen.
Die tatsächliche Definition der natürlichen logarithmischen Funktion kann im Integral von 1 / t dt gefunden werden. Das Integral ist von 1 bis x mit x> 0. Die Euler-Zahl e bezeichnet die positive reelle Zahl, so dass das Integral von 1 / t dt von 1 bis e gleich 1 ist. Die Euler-Zahl ist eine irrationale Zahl und ungefähr gleich bis 2.7182818285.
Die Ableitung der natürlichen logarithmischen Funktion in Bezug auf x ist 1 / x. Die Ableitung bezüglich x der Umkehrung der logarithmischen Funktion, der natürlichen Exponentialfunktion, ist überraschenderweise wieder die natürliche Exponentialfunktion. Mit anderen Worten, die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung.