Wat is de natuurlijke logaritme?
De natuurlijke logaritme is de logaritme met de basis e . De Schotse wiskundige John Napier (1550-1617) vond het logaritme uit. Hoewel hij het concept van de natuurlijke logaritme zelf niet introduceerde, wordt de functie soms de Napieriaanse logaritme genoemd. Het natuurlijke logaritme wordt gebruikt in tal van wetenschappelijke en technische toepassingen.
John Napier ontwikkelde de naam "logaritme" als een combinatie van de Griekse woorden logo's en arithmos . De Engelse vertalingen zijn respectievelijk "ratio" en "nummers". Napier werkte 20 jaar aan zijn logaritmentheorie en publiceerde zijn werk in 1614 in het boek Mirifici Logarithmorum canonis descriptio . De Engelse vertaling van de titel is A Description of the Marvellous Rule of Logarithms .
De natuurlijke logaritme wordt gekenmerkt als de logaritme van base e , die soms Napier's Constant wordt genoemd. Dit nummer wordt ook wel het nummer van Euler genoemd. De letter "e" wordt gebruikt ter ere van Leonhard Euler (1707-1783) en werd voor het eerst gebruikt door Euler zelf in een brief aan Christian Goldbach in 1731.
Het omgekeerde van de natuurlijke exponentiële functie, gedefinieerd als f (x) = e x , is de natuurlijke logaritmische functie. Deze functie wordt geschreven als f (x) = ln (x). Deze zelfde functie kan worden geschreven als f (x) = log e (x), maar de standaardnotatie is f (x) = ln (x).
Het domein van de natuurlijke logaritme is (0, oneindig) en het bereik is (-infinity, oneindig). De grafiek van deze functie is concaaf en kijkt naar beneden. De functie zelf neemt toe, continu en één op één.
De natuurlijke logaritme van 1 is gelijk aan 0. Ervan uitgaande dat a en b positieve getallen zijn, dan is ln (a * b) gelijk aan ln (a) + ln (b) en ln (a / b) = ln (a) - ln (b). Als a en b positieve getallen zijn en n een rationaal getal is, dan ln (a n ) = n * ln (a). Deze eigenschappen van natuurlijke logaritmen zijn kenmerkend voor alle logaritmische functies.
De feitelijke definitie van de natuurlijke logaritmische functie kan worden gevonden in de integraal van 1 / t dt. De integraal is van 1 tot x met x> 0. Euler's nummer, e , geeft het positieve reële getal aan zodat de integraal van 1 / t dt van 1 tot e gelijk is aan 1. Euler's nummer is een irrationeel getal en is ongeveer gelijk tot 2.7182818285.
De afgeleide van de natuurlijke logaritmische functie met betrekking tot x is 1 / x. De afgeleide met betrekking tot x van de inverse van de logaritmische functie, de natuurlijke exponentiële functie, is verrassend genoeg weer de natuurlijke exponentiële functie. Met andere woorden, de natuurlijke exponentiële functie is zijn eigen afgeleide.