Hva er den naturlige logaritmen?
Den naturlige logaritmen er logaritmen med basen e . Den skotske matematikeren John Napier (1550-1617) oppfant logaritmen. Selv om han ikke introduserte begrepet den naturlige logaritmen selv, kalles funksjonen noen ganger den napieriske logaritmen. Den naturlige logaritmen brukes i en rekke vitenskapelige og tekniske applikasjoner.
John Napier utviklet navnet "logaritme" som en kombinasjon av de greske ordene logos og aritmos . De engelske oversettelsene er henholdsvis "ratio" og "numbers". Napier brukte 20 år på å jobbe med sin teori om logaritmer og publiserte sitt arbeid i boken Mirifici Logarithmorum canonis descriptio i 1614. Den engelske oversettelsen av tittelen er A Description of the Marvelous Rule of Logarithms .
Den naturlige logaritmen er karakterisert som logaritmen til base e , som noen ganger kalles Napiers Konstant. Dette tallet er også kjent som Eulers nummer. Brevet "e" brukes til å hedre Leonhard Euler (1707-1783) og ble først brukt av Euler selv i et brev til Christian Goldbach i 1731.
Det inverse av den naturlige eksponentielle funksjonen, definert som f (x) = e x , er den naturlige logaritmiske funksjonen. Denne funksjonen er skrevet som f (x) = ln (x). Den samme funksjonen kan skrives som f (x) = log e (x), men standardnotasjonen er f (x) = ln (x).
Domenet til den naturlige logaritmen er (0, uendelig) og området er (-infinity, uendelig). Grafen til denne funksjonen er konkave, vendt nedover. Selve funksjonen er økende, kontinuerlig og en-til-en.
Den naturlige logaritmen til 1 er lik 0. Hvis vi antar at a og b er positive tall, så er ln (a * b) lik ln (a) + ln (b) og ln (a / b) = ln (a) - ln (b). Hvis a og b er positive tall og n er et rasjonelt tall, enn ln (a n ) = n * ln (a). Disse egenskapene til naturlige logaritmer er karakteristiske for alle logaritmiske funksjoner.
Selve definisjonen av den naturlige logaritmiske funksjonen finnes i integralen av 1 / t dt. Integralet er fra 1 til x med x> 0. Eulers tall, e , angir det positive reelle tallet slik at integralet av 1 / t dt fra 1 til e er lik 1. Eulers tall er et irrasjonelt tall og er tilnærmet likt til 2.7182818285.
Derivatet av den naturlige logaritmiske funksjonen med hensyn til x er 1 / x. Derivatet med hensyn til x av det inverse av den logaritmiske funksjonen, den naturlige eksponentielle funksjon, er overraskende nok den naturlige eksponentielle funksjonen igjen. Den naturlige eksponentielle funksjonen er med andre ord dens eget derivat.