Co je to přirozený logaritmus?
Přirozený logaritmus je logaritmus se základnou e . Logaritmus vynalezl skotský matematik John Napier (1550-1617). Ačkoli on nepřinesl představu o přirozeném logaritmu sám, funkce je někdy nazývána Napierian logaritmem. Přirozený logaritmus se používá v mnoha vědeckých a technických aplikacích.
John Napier vyvinul jméno „logaritmus“ jako kombinaci řeckých slov loga a aritmos . Anglické překlady jsou „poměr“ a „čísla“. Napier strávil 20 let prací na své teorii logaritmů a svou práci vydal v knize Mirifici Logarithmorum canonis descriptio v roce 1614. Anglický překlad názvu je Popis úžasného pravidla logaritmů .
Přirozený logaritmus je charakterizován jako logaritmus báze e , který se někdy nazývá Napierův Konstantin. Toto číslo se také nazývá Eulerovo číslo. Dopis “e” je zvyklý na počest Leonharda Eulera (1707-1783) a poprvé ho Euler použil v dopise Christianovi Goldbachovi v roce 1731.
Inverze přirozené exponenciální funkce, definované jako f (x) = e x , je přirozená logaritmická funkce. Tato funkce je zapsána jako f (x) = ln (x). Stejnou funkci lze napsat jako f (x) = log e (x), ale standardní zápis je f (x) = ln (x).
Doména přirozeného logaritmu je (0, nekonečno) a rozsah je (-nekonečno, nekonečno). Graf této funkce je konkávní, směřující dolů. Funkce sama o sobě je rostoucí, spojitá a individuální.
Přirozený logaritmus 1 je roven 0. Předpokládejme, že aab jsou kladná čísla, pak ln (a * b) se rovná ln (a) + ln (b) a ln (a / b) = ln (a) - ln (b). Jestliže aab jsou kladná čísla a n je racionální číslo, pak ln (a n ) = n * ln (a). Tyto vlastnosti přírodních logaritmů jsou charakteristické pro všechny logaritmické funkce.
Skutečnou definici přirozené logaritmické funkce lze nalézt v integrálu 1 / t dt. Integrál je od 1 do x s x> 0. Eulerovo číslo, e , označuje kladné reálné číslo tak, že integrál 1 / t dt od 1 do e je roven 1. Eulerovo číslo je iracionální číslo a je přibližně stejné do 2,7182818285.
Derivace přirozené logaritmické funkce vzhledem k x je 1 / x. Derivát vzhledem k x inverze logaritmické funkce, přirozené exponenciální funkce, je opět překvapivě přirozenou exponenciální funkcí. Jinými slovy, přirozená exponenciální funkce je její vlastní derivát.