Hvad er den naturlige logaritme?
Den naturlige logaritme er logaritmen med basen e . Den skotske matematiker John Napier (1550-1617) opfandt logaritmen. Selvom han ikke selv introducerede begrebet den naturlige logaritme, kaldes funktionen undertiden den napieriske logaritme. Den naturlige logaritme bruges i adskillige videnskabelige og tekniske applikationer.
John Napier udviklede navnet "logaritme" som en kombination af de græske ord logos og aritmos . De engelske oversættelser er henholdsvis "ratio" og "numbers". Napier tilbragte 20 år med at arbejde på sin teori om logaritmer og udgav sit arbejde i bogen Mirifici Logarithmorum canonis descriptio i 1614. Den engelske oversættelse af titlen er A Description of the Marvelous Rule of Logarithms .
Den naturlige logaritme er karakteriseret som logaritmen til base e , der undertiden kaldes Napiers Konstant. Dette nummer kaldes også Eulers nummer. Brevet "e" bruges til at ære Leonhard Euler (1707-1783) og blev først brugt af Euler selv i et brev til Christian Goldbach i 1731.
Det inverse af den naturlige eksponentielle funktion, defineret som f (x) = e x , er den naturlige logaritmiske funktion. Denne funktion er skrevet som f (x) = ln (x). Den samme funktion kan skrives som f (x) = log e (x), men standardnotationen er f (x) = ln (x).
Domænet for den naturlige logaritme er (0, uendelig) og området er (-infinity, uendelig). Grafen for denne funktion er konkave og vender nedad. Selve funktionen er stigende, kontinuerlig og en til en.
Den naturlige logaritme på 1 er lig med 0. Hvis vi antager, at a og b er positive tal, er ln (a * b) lig med ln (a) + ln (b) og ln (a / b) = ln (a) - ln (b). Hvis a og b er positive tal, og n er et rationelt tal, end ln (a n ) = n * ln (a). Disse egenskaber ved naturlige logaritmer er karakteristiske for alle logaritmiske funktioner.
Den faktiske definition af den naturlige logaritmiske funktion kan findes i integralen af 1 / t dt. Integralet er fra 1 til x med x> 0. Eulers tal, e , betegner det positive reelle tal, således at integralet af 1 / t dt fra 1 til e er lig med 1. Eulers tal er et irrationelt tal og er omtrent lige til 2.7182818285.
Derivatet af den naturlige logaritmiske funktion med hensyn til x er 1 / x. Derivatet med hensyn til x af det inverse af den logaritmiske funktion, den naturlige eksponentielle funktion, er overraskende den naturlige eksponentielle funktion igen. Med andre ord, den naturlige eksponentielle funktion er dens eget derivat.