Cos'è il logaritmo naturale?
Il logaritmo naturale è il logaritmo con la base e . Il matematico scozzese John Napier (1550-1617) inventò il logaritmo. Sebbene non abbia introdotto egli stesso il concetto del logaritmo naturale, la funzione viene talvolta chiamata logaritmo napieriano. Il logaritmo naturale è utilizzato in numerose applicazioni scientifiche e ingegneristiche.
John Napier sviluppò il nome "logaritmo" come una combinazione delle parole greche logos e arithmos . Le traduzioni in inglese sono "ratio" e "numbers", rispettivamente. Napier trascorse 20 anni a lavorare sulla sua teoria dei logaritmi e pubblicò il suo lavoro nel libro Mirifici Logarithmorum canonis descriptio nel 1614. La traduzione inglese del titolo è A Description of the Marvelous Rule of Logarithms .
Il logaritmo naturale è caratterizzato come il logaritmo della base e , che talvolta viene chiamato Costante di Napier. Questo numero è anche noto come il numero di Eulero. La lettera "e" è usata per onorare Leonhard Euler (1707-1783) e fu usata per la prima volta dallo stesso Eulero in una lettera a Christian Goldbach nel 1731.
L'inverso della funzione esponenziale naturale, definita come f (x) = e x , è la funzione logaritmica naturale. Questa funzione è scritta come f (x) = ln (x). Questa stessa funzione può essere scritta come f (x) = log e (x), ma la notazione standard è f (x) = ln (x).
Il dominio del logaritmo naturale è (0, infinito) e l'intervallo è (-infinito, infinito). Il grafico di questa funzione è concavo, rivolto verso il basso. La funzione stessa è in aumento, continua e individuale.
Il logaritmo naturale di 1 è uguale a 0. Supponendo che aeb siano numeri positivi, allora ln (a * b) è uguale a ln (a) + ln (b) e ln (a / b) = ln (a) - ln (b). Se aeb sono numeri positivi e n è un numero razionale, allora ln (a n ) = n * ln (a). Queste proprietà dei logaritmi naturali sono caratteristiche di tutte le funzioni logaritmiche.
La definizione effettiva della funzione logaritmica naturale può essere trovata nell'integrale di 1 / t dt. L'integrale va da 1 a x con x> 0. Il numero di Eulero, e , indica il numero reale positivo in modo tale che l'integrale di 1 / t dt da 1 a e sia uguale a 1. Il numero di Eulero è un numero irrazionale ed è approssimativamente uguale a 2.7182818285.
La derivata della funzione logaritmica naturale rispetto a x è 1 / x. La derivata rispetto a x dell'inverso della funzione logaritmica, la funzione esponenziale naturale, è di nuovo sorprendentemente la funzione esponenziale naturale. In altre parole, la funzione esponenziale naturale è la sua derivata.