Co to jest logarytm naturalny?
Logarytm naturalny to logarytm z podstawą e . Szkocki matematyk John Napier (1550-1617) wynalazł logarytm. Chociaż sam nie wprowadził koncepcji logarytmu naturalnego, funkcja ta jest czasami nazywana logarytmem napieryjskim. Logarytm naturalny jest wykorzystywany w wielu zastosowaniach naukowych i inżynieryjnych.
John Napier opracował nazwę „logarytm” jako połączenie greckich słów logos i arytmos . Angielskie tłumaczenia to odpowiednio „stosunek” i „liczby”. Napier spędził 20 lat pracując nad swoją teorią logarytmów i opublikował ją w książce Mirifici Logarithmorum canonis descriptio w 1614 r. Angielskie tłumaczenie tego tytułu to Opis cudownej reguły logarytmów .
Logarytm naturalny jest scharakteryzowany jako logarytm podstawy e , który jest czasem nazywany stałą Napiera. Liczba ta jest również znana jako liczba Eulera. Litera „e” jest używana w celu uhonorowania Leonharda Eulera (1707–1783) i została po raz pierwszy użyta przez samego Eulera w liście do Christiana Goldbacha w 1731 r.
Odwrotność naturalnej funkcji wykładniczej, zdefiniowanej jako f (x) = e x , jest naturalną funkcją logarytmiczną. Ta funkcja jest zapisywana jako f (x) = ln (x). Tę samą funkcję można zapisać jako f (x) = log e (x), ale standardową notacją jest f (x) = ln (x).
Domeną logarytmu naturalnego jest (0, nieskończoność), a zakres to (-nieskończoność, nieskończoność). Wykres tej funkcji jest wklęsły, skierowany w dół. Sama funkcja jest rosnąca, ciągła i indywidualna.
Logarytm naturalny równy 1 jest równy 0. Zakładając, że aib są liczbami dodatnimi, to ln (a * b) jest równe ln (a) + ln (b) i ln (a / b) = ln (a) - ln (b). Jeśli aib są liczbami dodatnimi, a n jest liczbą wymierną, to ln (a n ) = n * ln (a). Te właściwości logarytmów naturalnych są charakterystyczne dla wszystkich funkcji logarytmicznych.
Rzeczywistą definicję naturalnej funkcji logarytmicznej można znaleźć w całce 1 / t dt. Całka wynosi od 1 do x przy x> 0. Liczba Eulera, e , oznacza dodatnią liczbę rzeczywistą, tak że całka 1 / t dt od 1 do e jest równa 1. Liczba Eulera jest liczbą nieracjonalną i jest w przybliżeniu równa do 2.7182818285.
Pochodna naturalnej funkcji logarytmicznej względem x wynosi 1 / x. Pochodna względem x odwrotności funkcji logarytmicznej, naturalna funkcja wykładnicza, jest zaskakująco znowu naturalną funkcją wykładniczą. Innymi słowy, naturalna funkcja wykładnicza jest jej własną pochodną.