Vad är den naturliga logaritmen?
Den naturliga logaritmen är logaritmen med basen e . Den skotska matematikern John Napier (1550-1617) uppfann logaritmen. Även om han inte själv introducerade begreppet den naturliga logaritmen kallas funktionen ibland den napieriska logaritmen. Den naturliga logaritmen används i många vetenskapliga och tekniska applikationer.
John Napier utvecklade namnet "logaritm" som en kombination av de grekiska orden logos och aritmos . De engelska översättningarna är "ratio" respektive "numbers". Napier tillbringade 20 år med att arbeta med sin teori om logaritmer och publicerade sitt arbete i boken Mirifici Logarithmorum canonis descriptio 1614. Den engelska översättningen av titeln är A Description of the Marvelous Rule of Logarithms .
Den naturliga logaritmen kännetecknas av logaritmen till bas e , som ibland kallas Napiers konstant. Detta nummer kallas också Eulers nummer. Brevet "e" används för att hedra Leonhard Euler (1707-1783) och användes först av Euler själv i ett brev till Christian Goldbach 1731.
Det inversa av den naturliga exponentiella funktionen, definierad som f (x) = e x , är den naturliga logaritmiska funktionen. Denna funktion är skriven som f (x) = ln (x). Samma funktion kan skrivas som f (x) = log e (x), men standardnotationen är f (x) = ln (x).
Domänen för den naturliga logaritmen är (0, oändlighet) och intervallet är (-infinity, oändlighet). Grafen för den här funktionen är konkav och vänd nedåt. Själva funktionen ökar, kontinuerlig och en-till-en.
Den naturliga logaritmen på 1 är lika med 0. Om man antar att a och b är positiva siffror, är ln (a * b) lika med ln (a) + ln (b) och ln (a / b) = ln (a) - ln (b). Om a och b är positiva siffror och n är ett rationellt tal, än ln (a n ) = n * ln (a). Dessa egenskaper hos naturliga logaritmer är karakteristiska för alla logaritmiska funktioner.
Den faktiska definitionen av den naturliga logaritmiska funktionen finns i integralen av 1 / t dt. Integralen är från 1 till x med x> 0. Eulers antal, e , betecknar det positiva verkliga antalet så att integralen av 1 / t dt från 1 till e är lika med 1. Eulers antal är ett irrationellt tal och är ungefär lika till 2,7182818285.
Derivatet av den naturliga logaritmiska funktionen med avseende på x är 1 / x. Derivatet med avseende på x av det omvända av den logaritmiska funktionen, den naturliga exponentiella funktionen, är överraskande den naturliga exponentiella funktionen igen. Med andra ord, den naturliga exponentiella funktionen är dess eget derivat.