自然対数とは何ですか？

自然対数は、底がeの対数です。 スコットランドの数学者ジョン・ネイピア（1550〜1617）が対数を発明しました。 彼は自然対数の概念を自分で紹介しませんでしたが、この関数はナピアの対数と呼ばれることもあります。 自然対数は、多くの科学および工学アプリケーションで使用されています。

ジョン・ネイピアは、ギリシャ語のロゴと算数の組み合わせとして「対数」という名前を開発しました 。 英語の翻訳は、それぞれ「比率」と「数字」です。 ネーピアは対数理論に20年を費やし、1614年に本Mirifici Logarithmorum canonis descriptioに作品を発表しました。タイトルの英訳は、 対数のすばらしい 規則の説明です 。

自然対数は、ベースeの対数として特徴付けられ、Napier's Constantと呼ばれることもあります。 この番号は、オイラーの番号としても知られています。 「e」という文字は、レオンハルトオイラー（1707-1783）を称えるために使用され、1731年にクリスチャンゴールドバッハへの手紙の中でオイラー自身によって最初に使用されました。

f（x）= e ^xとして定義される自然指数関数の逆関数は、自然対数関数です。 この関数は、f（x）= ln（x）として記述されます。 これと同じ関数をf（x）= log _e （x）と書くことができますが、標準表記はf（x）= ln（x）です。

自然対数の領域は（0、無限大）で、範囲は（-無限、無限大）です。 この関数のグラフは、下向きの凹面です。 関数自体は増加しており、連続的で1対1です。

1の自然対数は0です。aとbが正の数であると仮定すると、ln（a * b）はln（a）+ ln（b）およびln（a / b）= ln（a）と等しくなります。 -ln（b）。 aとbが正数で、nが有理数の場合、ln（a ⁿ ）= n * ln（a）よりも大きくなります。 自然対数のこれらの特性は、すべての対数関数の特性です。

自然対数関数の実際の定義は、1 / t dtの積分で見つけることができます。 積分は1からxで、x> 0です。オイラーの数eは、1からeの1 / t dtの積分が1になるような正の実数を示します。オイラーの数は無理数であり、ほぼ等しい2.7182818285へ。

xに関する自然対数関数の導関数は1 / xです。 対数関数の逆数である自然指数関数のxに関する導関数は、驚くべきことに再び自然指数関数です。 つまり、自然な指数関数はそれ自体の導関数です。