¿Qué son los logaritmos en expansión?

Muchas ecuaciones pueden simplificarse expandiendo logaritmos. El término "logaritmos en expansión" no se refiere a logaritmos que se expanden sino a un proceso mediante el cual una expresión matemática se sustituye por otra de acuerdo con reglas específicas. Hay tres de esas reglas. Cada uno de ellos corresponde a una propiedad particular de exponentes porque tomar un logaritmo es el inverso funcional de la exponencia: log 3 (9) = 2 porque 3 2 = 9.

La regla más común para expandir los logaritmos se usa para separar productos. El logaritmo de un producto es la suma de los respectivos logaritmos: log a ( x*y ) = log a ( x ) + log a (y). Esta ecuación se deriva de la fórmula a x * a y = a x+y . Se puede extender a múltiples factores: log a ( x*y*z*w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).

elevando un número a una potencia negativa es equivalente a elevar su recíproca a una potencia positiva: 5

sup> (1/5) 2 = 1/25. La propiedad equivalente para logarithms es que log a (1/ x ) = -log a ( x ). Cuando esta propiedad se combina con la regla del producto, proporciona una ley para tomar el logaritmo de una relación: log a ( x / y ) = log a ( x ) Log A ( y ).

La regla final para expandir logaritmos se relaciona con el logaritmo de un número elevado a una potencia. Usando la regla del producto, se encuentra que log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = = = = 2*Log A ( x ). Del mismo modo, log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3*log a ( x ). En general, log a ( x n ) = n *log a ( x ), incluso si n no es un número completo.

Estas reglas se pueden combinar para expandir expresiones log de carácter más complejo. Por ejemplo, se puede aplicar la segunda regla para registrar a ( x 2 y / z ), obteniendo el registro de expresiones a ( x 2 y ) Log A (z). Luego, la primera regla se puede aplicar al primer término, produciendo log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Por último, la aplicación de la tercera regla conduce a la expresión 2*log a ( x ) + loG A ( y ) - log a ( z ).

La expansión de logaritmos permite que muchas ecuaciones se resuelvan rápidamente. Por ejemplo, alguien podría abrir una cuenta de ahorros con $ 400 dólares estadounidenses. Si la cuenta paga el 2 por ciento de interés anual compuesto mensualmente, el número de meses requerido antes de que la cuenta duplique el valor se puede encontrar con la ecuación 400*(1 + 0.02/12) m = 800. División por 400 rendimientos (1 + 0.02/12) m Log 10 (1 + 0.02/12) m = log 10 (2).

Esta ecuación se puede simplificar utilizando la regla de potencia a m *log 10 (1 + 0.02/12) = log 10 (2). Usando una calculadora para encontrar los rendimientos de logaritmos m *(0.00072322) = 0.30102. Se encuentra al resolver m que la cuenta tardará 417 meses en duplicar su valor si no se deposita dinero adicional.

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