Co jsou rozšiřující se logaritmy?
Mnoho rovnic lze zjednodušit rozšířením logaritmů. Termín "rozšiřující se logaritmy" se nevztahuje na logaritmy, které se rozšiřují, ale spíše na proces, kterým je jeden matematický výraz nahrazen jiným podle specifických pravidel. Existují tři taková pravidla. Každá z nich odpovídá určité vlastnosti exponentů, protože logaritmus je funkční inverze exponentiace: log 3 (9) = 2, protože 3 2 = 9.
Nejčastější pravidlo pro rozšiřování logaritmů se používá k oddělení produktů. Logaritmus produktu je součet příslušných logaritmů: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Tato rovnice je odvozena ze vzorce a x * a y = a x + y . Lze ji rozšířit na několik faktorů: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Zvýšení čísla na zápornou moc je ekvivalentní zvýšení jeho reciproční hodnoty na kladnou sílu: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. Ekvivalentní vlastnost pro logaritmy je, že log a (1 / x ) = -log a ( x ). Když je tato vlastnost kombinována s pravidlem produktu, poskytuje zákon pro převzetí logaritmu poměru: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
Konečné pravidlo pro rozšiřování logaritmů se týká logaritmu čísla zvýšeného na moc. Pomocí pravidla produktu zjistíme, že log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). Podobně log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). Obecně log a ( x n ) = n * log a ( x ), i když n není celé číslo.
Tato pravidla lze kombinovat pro rozšíření logových výrazů složitějšího charakteru. Například je možné použít druhé pravidlo pro protokolování a ( x 2 y / z ), získání log výrazu a ( x 2 y ) - log a (z). Potom lze první pravidlo aplikovat na první termín, čímž se získá log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Nakonec, použití třetího pravidla vede k výrazu 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Rozšiřující se logaritmy umožňují rychle vyřešit mnoho rovnic. Například někdo může otevřít spořicí účet se 400 USD v amerických dolarech. Pokud účet platí 2 procenta ročního úroku složeného měsíčně, lze počet měsíců požadovaných před zdvojnásobením hodnoty účtu najít s rovnicí 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Dělení 400 výnosy (1 + 0,02 / 12) m = 2. Vezmeme-li logaritmus základny 10 na obě strany, vygeneruje logaritmus rovnice 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
Tuto rovnici lze zjednodušit pomocí mocenského pravidla na m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Pomocí kalkulačky k nalezení logaritmů se získá m * (0,00072322) = 0,30102. Při řešení m se zjistí, že bude trvat 417 měsíců, než se účet zdvojnásobí, pokud nebudou uloženy žádné další peníze.