Hvad er ekspanderende logaritmer?
Mange ligninger kan forenkles ved at udvide logaritmer. Udtrykket "ekspanderende logaritmer" henviser ikke til logaritmer, der udvides, men snarere til en proces, hvorved et matematisk udtryk erstattes af en anden i henhold til specifikke regler. Der er tre sådanne regler. Hver af dem svarer til en bestemt egenskab hos eksponenter, fordi det at tage en logaritme er det funktionelle inverse af eksponentiering: log 3 (9) = 2 fordi 3 2 = 9.
Den mest almindelige regel for at udvide logaritmer bruges til at separate produkter. Logaritmen af et produkt er summen af de respektive logaritmer: log a ( x*y ) = log a ( x ) + log a (y). Denne ligning stammer fra formlen a x * a y = a x+y . Det kan udvides til flere faktorer: log a ( x*y*z*w ) = log a ( x ) + log a M (1/5) 2 = 1/25. Den ækvivalente egenskab for logaritmer er, at log a (1/ x ) = -log a ( x ). Når denne egenskab kombineres med produktreglen, giver den en lov til at tage logaritmen til et forhold: log a ( x / y ) = log a ( x ) - – - Log a ( y ).
Den endelige regel for udvidelse af logaritmer vedrører logaritmen for et tal hævet til en magt. Ved hjælp af produktreglen finder man, at log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2*log a ( x ). Tilsvarende log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3*log a ( x ). Generelt log a ( x n ) = n *log a ( x ), selvom n er ikke et helt nummer.
( x ), selv hvis n er ikke et helt nummer.Disse regler kan kombineres for at udvide logudtryk af mere kompleks karakter. For eksempel kan man anvende den anden regel for at logge a ( x 2 y / z ), opnå udtrykket log a ( x 2 a ( x 2
Log a (z). Derefter kan den første regel anvendes på det første valgperiode, hvilket giver log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Endelig fører anvendelsen af den tredje regel til udtrykket 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).Udvidelse af logaritmer gør det muligt at løse mange ligninger hurtigt. For eksempel kan nogen muligvis åbne en sparekonto med $ 400 amerikanske dollars. If the account pays 2 percent annual interest compounded monthly, the number of months required before the account doubles in value can be found with the equation 400*(1 + 0.02/12)m = 800. Dividing by 400 yields (1 + 0.02/12)m = 2. Taking the base-10 logarithm of both sides generates the equation Log 10 (1 + 0,02/12) m = log 10 (2).
Denne ligning kan forenkles ved hjælp af strømreglen til m *log 10 (1 + 0,02/12) = log 10 (2). Brug af en lommeregner til at finde logaritmerne giver m *(0,00072322) = 0,30102. Man finder ved at løse for m at det vil tage 417 måneder for kontoen at fordoble værdien, hvis der ikke deponeres yderligere penge.