Hvad udvider logaritmer?
Mange ligninger kan forenkles ved at udvide logaritmer. Udtrykket "ekspanderende logaritmer" henviser ikke til logaritmer, der udvides, men snarere til en proces, hvor et matematisk udtryk erstattes af et andet efter specifikke regler. Der er tre sådanne regler. Hver af dem svarer til en bestemt egenskab af eksponenter, fordi at tage en logaritme er den funktionelle inverse af eksponentiering: log 3 (9) = 2 fordi 3 2 = 9.
Den mest almindelige regel til udvidelse af logaritmer bruges til at adskille produkter. Logaritmet for et produkt er summen af de respektive logaritmer: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Denne ligning er afledt af formlen a x * a y = a x + y . Det kan udvides til flere faktorer: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
At hæve et tal til en negativ effekt svarer til at hæve det gensidige til en positiv effekt: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. Den ækvivalente egenskab for logaritmer er den log a (1 / x ) = -log a ( x ). Når denne egenskab er kombineret med produktreglen, giver den en lov til at tage logaritmen for et forhold: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
Den sidste regel for at udvide logaritmer vedrører logaritmen for et tal hævet til en magt. Ved hjælp af produktreglen finder man, at log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). Tilsvarende log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). Generelt skal du logge a ( x n ) = n * log a ( x ), selvom n ikke er et helt tal.
Disse regler kan kombineres for at udvide logudtryk med mere kompleks karakter. For eksempel kan man anvende den anden regel til at logge a ( x 2 y / z ), og få ekspressionslog a ( x 2 y ) - log a (z). Derefter kan den første regel anvendes på den første periode, hvilket giver log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Til sidst fører anvendelsen af den tredje regel til udtrykket 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Ved at udvide logaritmer kan mange ligninger løses hurtigt. For eksempel åbner nogen muligvis en sparekonto med $ 400 US Dollars. Hvis kontoen betaler 2 procent årlig rente månedligt sammensat, kan det antal måneder, der kræves, før kontoen fordobles i værdi, findes med ligningen 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Dividende med 400 udbytter (1 + 0,02 / 12) m = 2. At tage base-10-logaritmen fra begge sider genererer ligningsloggen 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
Denne ligning kan forenkles ved hjælp af strømreglen til m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Brug af en lommeregner til at finde logaritmerne giver m * (0,00072322) = 0,30102. Man finder ved løsning af m at det vil tage 417 måneder for kontoen at fordoble sig i værdi, hvis der ikke indbetales yderligere penge.