Vad expanderar logaritmer?
Många ekvationer kan förenklas genom att expandera logaritmer. Termen "expanderande logaritmer" avser inte logaritmer som expanderar utan snarare till en process där ett matematiskt uttryck ersätts av ett annat enligt specifika regler. Det finns tre sådana regler. Var och en av dem motsvarar en speciell egenskap hos exponenter eftersom att ta en logaritm är den funktionella inverse av exponentiering: log 3 (9) = 2 eftersom 3 2 = 9.
Den vanligaste regeln för att utvidga logaritmer används för att separera produkter. En produkts logaritm är summan av respektive logaritm: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Denna ekvation härrör från formeln a x * a y = a x + y . Det kan utökas till flera faktorer: logga a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Att höja ett tal till en negativ effekt motsvarar att öka dess ömsesidiga till en positiv effekt: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. Den ekvivalenta egenskapen för logaritmer är att logga a (1 / x ) = -log a ( x ). När den här egenskapen kombineras med produktregeln ger den en lag för att ta logaritmen för ett förhållande: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
Den sista regeln för att utvidga logaritmerna hänför sig till logaritmen för ett nummer höjt till en makt. Med hjälp av produktregeln finner man att logga a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). På samma sätt loggar a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). I allmänhet loggar du a ( x n ) = n * loggar a ( x ), även om n inte är ett heltal.
Dessa regler kan kombineras för att utöka logguttryck med mer komplex karaktär. Till exempel kan man tillämpa den andra regeln för att logga a ( x 2 y / z ), erhålla uttrycksloggen a ( x 2 y ) - log a (z). Sedan kan den första regeln tillämpas på den första termen, vilket ger logg a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Slutligen leder tillämpningen av den tredje regeln till uttrycket 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Genom att utvidga logaritmer kan många ekvationer lösas snabbt. Till exempel kan någon öppna ett sparkonto med $ 400 US dollar. Om kontot betalar 2 procent årlig ränta sammansatt varje månad, kan antalet månader som krävs innan kontot fördubblas i värde hittas med ekvationen 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Dela med 400 avkastning (1 + 0,02 / 12) m = 2. Att ta bas-10 logaritmen på båda sidorna genererar ekvationsloggen 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
Denna ekvation kan förenklas med hjälp av effektregeln för att m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Att använda en kalkylator för att hitta logaritmerna ger m * (0,00072322) = 0,30102. Man finner vid lösning för m att det kommer att ta 417 månader för kontot att fördubblas i värde om inga extra pengar deponeras.