Vad expanderar logaritmer?

Många ekvationer kan förenklas genom att utöka logaritmer. Termen "expanderande logaritmer" hänvisar inte till logaritmer som expanderar utan snarare till en process genom vilken ett matematiskt uttryck ersätts med en annan enligt specifika regler. Det finns tre sådana regler. Var och en av dem motsvarar en viss egenskap hos exponenter eftersom att ta en logaritm är den funktionella inversa av exponentiering: log ₃ (9) = 2 eftersom 3 ² = 9.

Den vanligaste regeln för expanderande logaritmer används för att separera produkter. Logaritm för en produkt är summan av respektive logaritmer: log _a ( x*y ) = log _a ( x ) + log a (y). Denna ekvation härstammar från formeln a ^x * a ^y = a ^x+y . Det kan utvidgas till flera faktorer: log _a ( x*y*z*w ) = log _a ( x ) + log _a ( y ) + log _a ( z ) + log _a ( w ). (1/5) ² = 1/25. Den motsvarande egenskapen för logaritmer är att log _a (1/ x ) = -log _a ( x ). När den här egenskapen kombineras med produktregeln ger den en lag för att ta logaritmen för ett förhållande: log _a ( x / y ) = log _a ( x ) - log _a ( y ).

Den slutliga regeln för att utöka logaritmer hänför sig till logaritmen för ett antal höjda till en kraft. Using the product rule, one finds that log_a(x²) = log_a(x) + log_a(x) = 2*log _a ( x ). På liknande sätt log _a ( x ³ ) = log _a ( x ) + log _a ( x ) + log _a ( x = 3*log _{( x . I allmänhet log a ( x ⁿ ) = n *log a ( x ), även om n är inte en helhet.}

Dessa regler kan kombineras för att utöka loguttryck av mer komplex karaktär. For example, one can apply the second rule to log_a(x²y/z), obtaining the expression log_a(x²y) – log _a (z). Then the first rule can be applied to the first term, yielding log_a(x²) + log_a(y) – log_a(z). Slutligen leder tillämpningen av den tredje regeln till uttrycket 2*log _a ( x ) + loG _a ( y ) - log _a ( z ).

Expandering av logaritmer gör det möjligt att lösa många ekvationer snabbt. Till exempel kan någon öppna ett sparkonto med $ 400 US -dollar. Om kontot betalar 2 procent årlig ränta som är sammansatt varje månad, kan antalet månader som krävs innan kontot fördubblas i värde med ekvationen 400*(1 + 0,02/12) ^m = 800. Dividing med 400 utbyten (1 + 0,02/12) ^{m log ₁₀ (1 + 0,02/12) m = log ₁₀ (2).}

Denna ekvation kan förenklas med hjälp av kraftregeln till m *log ₁₀ (1 + 0,02/12) = log ₁₀ (2). Att använda en kalkylator för att hitta logaritmerna ger m *(0,00072322) = 0,30102. Man finner när man löser för m att det kommer att ta 417 månader innan kontot fördubblas i värde om inga ytterligare pengar deponeras.