Co to są logarytmy rozszerzające?
Wiele równań można uprościć, rozszerzając logarytmy. Termin „logarytmy rozszerzające” nie odnosi się do logarytmów, które się rozszerzają, ale raczej do procesu, w którym jedno wyrażenie matematyczne jest zastępowane innym zgodnie z określonymi regułami. Istnieją trzy takie zasady. Każda z nich odpowiada określonej właściwości wykładników, ponieważ przyjęcie logarytmu jest odwrotnością funkcjonalną wykładnika: log 3 (9) = 2, ponieważ 3 2 = 9.
Najpopularniejsza reguła rozszerzania logarytmów służy do oddzielania produktów. Logarytm produktu jest sumą odpowiednich logarytmów: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). To równanie wywodzi się ze wzoru a x * a y = a x + y . Można go rozszerzyć na wiele czynników: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Podniesienie liczby do potęgi ujemnej jest równoważne podniesieniu jej liczby do potęgi dodatniej: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. Równoważną właściwością logarytmów jest to, że log a (1 / x ) = -log a ( x ). Gdy ta właściwość jest połączona z regułą produktu, zapewnia ona prawo do przyjmowania logarytmu stosunku: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
Ostatnia zasada rozszerzania logarytmów dotyczy logarytmu liczby podniesionej do potęgi. Stosując regułę produktu, okazuje się, że log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). Podobnie, log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). Zasadniczo log a ( x n ) = n * log a ( x ), nawet jeśli n nie jest liczbą całkowitą.
Reguły te można łączyć, aby rozwinąć wyrażenia dziennika o bardziej złożonym charakterze. Na przykład drugą regułę można zastosować do zalogowania a ( x 2 y / z ), uzyskując wyrażenie log a ( x 2 y ) - log a (z). Następnie pierwszą regułę można zastosować do pierwszego terminu, uzyskując log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Wreszcie zastosowanie trzeciej reguły prowadzi do wyrażenia 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Rozszerzenie logarytmów pozwala szybko rozwiązać wiele równań. Na przykład ktoś może otworzyć konto oszczędnościowe za 400 USD. Jeśli na rachunku płaci się 2% rocznych odsetek powiększonych co miesiąc, liczbę miesięcy wymaganą do podwojenia wartości rachunku można znaleźć za pomocą równania 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Dzielenie przez 400 wydajności (1 + 0,02 / 12) m = 2. Biorąc logarytm dziesiętny z obu stron generuje równanie log 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
To równanie można uprościć, stosując regułę mocy do m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Za pomocą kalkulatora, aby znaleźć logarytmy, uzyskuje się m * (0,00072322) = 0,30102. Po rozwiązaniu dla m okazuje się, że wartość konta podwoi się w 417 miesiącach, jeśli nie zostaną zdeponowane żadne dodatkowe pieniądze.