Co to są logarytmy?

Wiele równań można uprościć poprzez rozszerzenie logarytmów. Termin „rozszerzenie logarytmów” nie odnosi się do logarytmów, które rozszerzają się, ale raczej do procesu, w którym jedno wyrażenie matematyczne jest zastępowane innym zgodnie z określonymi regułami. Istnieją trzy takie zasady. Każdy z nich odpowiada konkretnej właściwości wykładników, ponieważ przyjmowanie logarytmu jest funkcjonalną odwrotnością wykładniania: log _{3 (9) = 2, ponieważ 3 ^{2 = 9.}}

Najczęstsza reguła rozszerzania logarytmów jest stosowana do oddzielenia produktów. Logarytm produktu jest sumą odpowiednich logarytmów: log _{A ( x*y ) = log a ( x ) + log (y). Równanie to pochodzi z wzoru a ^x * a ^y = a ^x+y . Można go rozszerzyć na wiele czynników: log a ( x*y*z*w ) = log a x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).}

Podnoszenie liczby do ujemnej mocy jest równoważne z podniesieniem mocy reagnicznej do dodatniej (1/5) ^{2 = 1/25. Równoważoną właściwością dla logarytmów jest to, że log _{A (1/ x ) = -log A ( x ). Gdy ta właściwość jest połączona z zasadą produktu, stanowi prawo do przyjmowania logarytmu stosunku: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).}}

Ostateczna reguła rozszerzenia logarytmów dotyczy logarytmu liczby podniesionej do mocy. Korzystając z reguły produktu, stwierdzono, że log a ( x ² ) = log _{a ( x ) + log a x ) 2*log a ( x ). Podobnie, log a ( x ^{3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a x ) = 3*log A ( x ). Zasadniczo log a ( x n ) = n *log a ( x ), nawet jeśli n nie jest całkowitą liczbą.}}

( x ), nawet jeśli n nie jest całkowitą liczbą.

Te reguły można połączyć, aby rozszerzyć wyrażenia logarytmi o bardziej złożonym charakterze. For example, one can apply the second rule to log_a(x²y/z), obtaining the expression log_a(x²y) – Log _{A (z). Następnie pierwszą regułę można zastosować do pierwszego terminu, dając log A ( X ^{2 z Wreszcie, zastosowanie trzeciej reguły prowadzi do wyrażenia 2*log a ( x ) + loG A ( y ) - Log A ( z ).}}

Rozszerzenie logarytmów umożliwia szybkie rozwiązanie wielu równań. Na przykład ktoś może otworzyć konto oszczędnościowe z 400 USD dolarów. Jeśli rachunek płaci 2-procentowe roczne odsetki spotęgowane co miesiąc, liczbę miesięcy wymaganej przed rachunkiem podwaja wartość w równaniu 400*(1 + 0,02/12) ^{M = 800. Działanie przez 400 wydajności (1 + 0,02/12) = 2. Base-10 LogarM z obu Logar. Dziennik równania ₁₀ (1 + 0,02/12) M = log _{10 (2).}}

To równanie można uprościć za pomocą reguły mocy do m *log _{10 (1 + 0,02/12) = log 10 (2). Za pomocą kalkulatora do znalezienia logarytmów daje m *(0,00072322) = 0,30102. Po rozwiązaniu dla m , że konto zajmie 417 miesięcy, jeśli nie zostanie zdeponowane żadne dodatkowe pieniądze.}