Wat zijn uitbreidende logaritmen?
Veel vergelijkingen kunnen worden vereenvoudigd door logaritmen uit te breiden. De term "expanderende logaritmen" verwijst niet naar logaritmen die uitbreiden, maar eerder naar een proces waarbij de ene wiskundige uitdrukking wordt vervangen door een andere volgens specifieke regels. Er zijn drie dergelijke regels. Elk van hen komt overeen met een bepaalde eigenschap van exponenten, omdat het nemen van een logaritme de functionele inverse is van exponentiatie: log 3 (9) = 2 omdat 3 2 = 9.
De meest voorkomende regel voor het uitbreiden van logaritmen wordt gebruikt om producten te scheiden. De logaritme van een product is de som van de respectieve logaritmen: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Deze vergelijking is afgeleid van de formule a x * a y = a x + y . Het kan worden uitgebreid tot meerdere factoren: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Een getal verhogen tot een negatieve macht is gelijk aan het verhogen van de waarde ervan tot een positieve macht: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. De equivalente eigenschap voor logaritmen is dat log a (1 / x ) = -log a ( x ). Wanneer deze eigenschap wordt gecombineerd met de productregel, biedt deze een wet voor het nemen van de logaritme van een ratio: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
De laatste regel voor het uitbreiden van logaritmen heeft betrekking op de logaritme van een getal dat tot een macht is verheven. Met behulp van de productregel vindt men dat log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). Op dezelfde manier log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). Over het algemeen log a ( x n ) = n * log a ( x ), zelfs als n geen geheel getal is.
Deze regels kunnen worden gecombineerd om logexpressies met een complexer karakter uit te breiden. Men kan bijvoorbeeld de tweede regel toepassen om log a ( x 2 y / z ) te registreren, waarbij de uitdrukking log a ( x 2 y ) wordt verkregen - log a (z). Dan kan de eerste regel worden toegepast op de eerste term, wat log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ) oplevert. Ten slotte leidt de toepassing van de derde regel tot de uitdrukking 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Door het uitbreiden van logaritmen kunnen veel vergelijkingen snel worden opgelost. Iemand kan bijvoorbeeld een spaarrekening openen met $ 400 US Dollars. Als de rekening 2 procent jaarlijkse rente betaalt, maandelijks samengesteld, kan het aantal maanden dat nodig is voordat de rekening in waarde verdubbelt, worden gevonden met de vergelijking 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Delen door 400 opbrengsten (1 + 0,02 / 12) m = 2. Het nemen van de logaritme met basis 10 van beide zijden genereert de vergelijkingslog 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
Deze vergelijking kan worden vereenvoudigd met behulp van de machtsregel tot m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Het gebruiken van een calculator om de logaritmen te vinden levert m * (0.00072322) = 0.30102 op. Bij het oplossen van m constateert men dat het 417 maanden zal duren voordat de rekening in waarde verdubbelt als er geen extra geld wordt gestort.