Wat zijn uitbreiding van logaritmen?

Veel vergelijkingen kunnen worden vereenvoudigd door logaritmen uit te breiden. De term "uitbreidende logaritmen" verwijst niet naar logaritmen die uitbreiden, maar eerder naar een proces waardoor de ene wiskundige uitdrukking wordt vervangen door een andere volgens specifieke regels. Er zijn drie van dergelijke regels. Elk van hen komt overeen met een bepaalde eigenschap van exponenten omdat het nemen van een logaritme de functionele omgekeerde van exponentiatie is: log ₃ (9) = 2 omdat 3 ² = 9.

De meest voorkomende regel voor het uitbreiden van logaritmen wordt gebruikt om producten te scheiden. The logarithm of a product is the sum of the respective logarithms: log_a(x*y) = log_a(x) + log_a(y). Deze vergelijking is afgeleid van de formule a ^x * a ^y = a ^x+y . Het kan worden uitgebreid tot meerdere factoren: log _a ( x*y*z*w ) = log _a ( x ) + log _{a a a a a a a a} ( y ) + log _a ( z ) + log _a ( W ).

Het verhogen van een aantal negatief vermogen is gelijk aan een negatief vermogen om een ​​negatieve kracht te razen naar een positieve kracht: 5 –2 –2 2 = 1/25. De equivalente eigenschap voor logaritmen is dat log _a (1/ x ) = -log _a ( x ). Wanneer deze eigenschap wordt gecombineerd met de productregel, biedt het een wet voor het nemen van de logaritme van een verhouding: log _a ( x / y ) = log _{a x ) - log a ( y ).}

De uiteindelijke regel voor het uitbreiden van logaritmen heeft betrekking op de logaritme van een getal dat is verhoogd tot een macht. Met behulp van de productregel vindt men dat log _a ( x ² ) = log _a ( x ) + log _a ( x ) = 2*log _{a ( x ). Evenzo log a ( x ³ ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3*log a ( x ). Log in het algemeen a ( x ⁿ ) = n *log a ( x ), zelfs als n geen volledig getal is.}

Deze regels kunnen worden gecombineerd om loguitdrukkingen van complexer karakter uit te breiden. For example, one can apply the second rule to log_a(x²y/z), obtaining the expression log_a(x²y) – Log _{a (z). Vervolgens kan de eerste regel worden toegepast op de eerste term, die log a ( x ² ) + log a ( y ) - log a ( z ).. Ten slotte leidt het toepassen van de derde regel tot de uitdrukking 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).}

Uitbreidende logaritmen kunnen veel vergelijkingen snel worden opgelost. Iemand kan bijvoorbeeld een spaarrekening openen met $ 400 US dollar. Als de account maandelijks 2 procent jaarlijkse rente betaalt, is het aantal benodigde maanden dat nodig is voordat de rekening verdubbelt in waarde te vinden is met de vergelijking 400*(1 + 0.02/12) ^m = 800. Delen door 400 opbrengsten (1 + 0,02/12) ^<(Sup> Log ₁₀ (1 + 0.02/12) ^m = log ₁₀ (2).

Deze vergelijking kan worden vereenvoudigd met behulp van de stroomregel tot m *log ₁₀ (1 + 0.02/12) = log ₁₀ (2). Een rekenmachine gebruiken om de logaritmen te vinden levert m *(0,00072322) = 0,30102 op. Men vindt bij het oplossen van m dat het 417 maanden zal duren voordat de rekening verdubbelt in waarde als er geen extra geld wordt gestort.