Was sind expandierende Logarithmen?
Viele Gleichungen können durch Erweiterung der Logarithmen vereinfacht werden. Der Begriff "expandierende Logarithmen" bezieht sich nicht auf expandierende Logarithmen, sondern auf einen Vorgang, bei dem ein mathematischer Ausdruck nach bestimmten Regeln durch einen anderen ersetzt wird. Es gibt drei solche Regeln. Jedes von ihnen entspricht einer bestimmten Eigenschaft von Exponenten, da die Verwendung eines Logarithmus die Funktionsumkehrung der Exponentiation ist: log 3 (9) = 2, weil 3 2 = 9.
Die gebräuchlichste Regel zum Erweitern von Logarithmen wird zum Trennen von Produkten verwendet. Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der jeweiligen Logarithmen: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Diese Gleichung ergibt sich aus der Formel a x * a y = a x + y . Es kann auf mehrere Faktoren erweitert werden: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Das Erhöhen einer Zahl auf eine negative Potenz entspricht dem Erhöhen des Kehrwerts auf eine positive Potenz: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. Die äquivalente Eigenschaft für Logarithmen ist log a (1 / x ) = -log a ( x ). Wenn diese Eigenschaft mit der Produktregel kombiniert wird, gibt sie ein Gesetz für den Logarithmus eines Verhältnisses an: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
Die letzte Regel zum Erweitern von Logarithmen bezieht sich auf den Logarithmus einer Zahl, die auf eine Potenz angehoben wird. Unter Verwendung der Produktregel findet man, dass log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). In ähnlicher Weise ist log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). Im Allgemeinen ist log a ( x n ) = n * log a ( x ), auch wenn n keine ganze Zahl ist.
Diese Regeln können kombiniert werden, um Protokollausdrücke mit komplexerem Charakter zu erweitern. Zum Beispiel kann man die zweite Regel anwenden, um a ( x 2 y / z ) zu protokollieren und den Ausdruck log a ( x 2 y ) - log a (z) zu erhalten. Dann kann die erste Regel auf den ersten Term angewendet werden und ergibt log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Schließlich führt die Anwendung der dritten Regel zu dem Ausdruck 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Durch das Erweitern der Logarithmen können viele Gleichungen schnell gelöst werden. Zum Beispiel könnte jemand ein Sparkonto mit 400 US-Dollar eröffnen. Wenn das Konto 2 Prozent der jährlichen Zinsen zahlt, die monatlich zusammengesetzt werden, kann die Anzahl der Monate, die erforderlich sind, bevor sich der Wert des Kontos verdoppelt, mit der Gleichung 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800 ermittelt werden. Dividieren durch 400 Renditen (1 + 0,02 / 12) m = 2. Aus dem Logarithmus zur Basis 10 beider Seiten ergibt sich die Gleichung log 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
Diese Gleichung kann mit der Potenzregel zu m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2) vereinfacht werden. Die Verwendung eines Rechners zur Ermittlung der Logarithmen ergibt m * (0,00072322) = 0,30102. Bei der Lösung von m wird festgestellt, dass es 417 Monate dauern wird, bis sich der Wert des Kontos verdoppelt, wenn kein zusätzliches Geld eingezahlt wird.