Was sind expandierende Logarithmen?
Viele Gleichungen können durch Erweiterung von Logarithmen vereinfacht werden. Der Begriff "Erweiterung von Logarithmen" bezieht sich nicht auf Logarithmen, die erweitert werden, sondern auf einen Prozess, durch den ein mathematischer Ausdruck nach bestimmten Regeln ersetzt wird. Es gibt drei solche Regeln. Jede von ihnen entspricht einer bestimmten Eigenschaft von Exponenten, da die Einnahme eines Logarithmus die funktionale Inverse der Exponentiation ist: log 3 (9) = 2, da 3 2 = 9. Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der jeweiligen Logarithmen: log a ( x*y ) = log a ( x ) + log a (y). Diese Gleichung wird aus der Formel a x * a y = a x+y abgeleitet. Es kann auf mehrere Faktoren erweitert werden ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ). (1/5) 2 = 1/25. Die äquivalente Eigenschaft für Logarithmen ist, dass log a (1/ x ) = -log a ( x )). When this property is combined with the product rule, it provides a law for taking the logarithm of a ratio: loga(x/y) = loga(x) – log a ( y ). Unter Verwendung der Produktregel stellt man fest, dass log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = ) 2*log a ( x ). In ähnlicher Weise log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3*log a ( x ). Im Allgemeinen log a ( x n ) = n *log a ( x ), selbst wenn n keine ganze Nummer.
Diese Regeln können kombiniert werden, um die Protokollausdrücke komplexerer Zeichen zu erweitern. For example, one can apply the second rule to loga(x2y/z), obtaining the expression loga(x2y) – log a (z). Dann kann die erste Regel auf den ersten Term angewendet werden, wodurch log ( x 2 ) + log a ( y ) - log ( y ) erfolgt. Schließlich führt die Anwendung der dritten Regel zum Ausdruck 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Erweiterung von Logarithmen ermöglicht es, viele Gleichungen schnell zu lösen. Zum Beispiel kann jemand ein Sparkonto mit 400 US -Dollar US -Dollar eröffnen. Wenn das Konto 2 Prozent jährliche Zinsen monatlich verschärft, kann die Anzahl der vor dem Konto des Konto verdoppelten Wertes mit der Gleichung 400*(1 + 0,02/12) m = 800. Distriding durch 400 Erträge (1 + 0,02/12) 400-Erträge (1 + 0,02/12) Die Basis-10-Sup> -Giden-Sup> -S-Sup> 10 (1 + 0,02/12) m = log 10 (2).
Diese Gleichung kann unter Verwendung der Leistungsregel zu m *log 10 (1 + 0,02/12) = log 10 (2) vereinfacht werden. Verwenden eines Taschenrechners, um die Logarithmen zu ermitteln, ergibt m *(0,00072322) = 0,30102. Bei der Lösung von m findet man, dass es 417 Monate dauert, bis das Konto an Wert verdoppelt wird, wenn kein zusätzliches Geld eingezahlt wird.