Hva utvider logaritmer?

Mange ligninger kan forenkles ved å utvide logaritmer. Begrepet "utvidende logaritmer" refererer ikke til logaritmer som utvides, men snarere til en prosess der ett matematisk uttrykk erstattes med en annen i henhold til spesifikke regler. Det er tre slike regler. Hver av dem tilsvarer en bestemt egenskap av eksponenter fordi det å ta en logaritme er den funksjonelle inverse av eksponentiering: log _{3 (9) = 2 fordi 3 ^{2 = 9.}}

Den vanligste regelen for utvidelse av logaritmer brukes til å skille produkter. Logaritmen til et produkt er summen av de respektive logaritmene: log a ( x*y ) = log a ( x ) + log _{a (y Log} ( x . Denne ligningen er avledet fra formelen a ^x * A ^y = a ^x+y . Det kan utvides til flere faktorer: log a ( x*y*z*w ) = log a ( x ) + log a (y) + log_a(z) + log_a(w).

Raising a number to a negative power is equivalent to raising its reciprocal to a positive power: 5^-2 = (1/5) ^{2 = 1/25. Den ekvivalente egenskapen for logaritmer er at loggen _{a (1/ x ) = -log A ( x ). Når denne egenskapen er kombinert med produktregelen, gir den en lov for å ta logaritmen til et forhold: log a ( x / y ) = log a ( x - - Logg A ( y ).}}

Den endelige regelen for utvidelse av logaritmer knytter seg til logaritmen til et tall hevet til en makt. Ved hjelp av produktregelen finner man at loggen _{a ( x ^{2 ) = log a ( x ) + log A ( x A. 2*Logg A ( x ). Tilsvarende logg a ( x 3 ) = log a ) = log A ) = log A} /sup>) = log A ^{3 /sup>) = log A 3 ) = Log A 3 ) = log A 3 /Sup>) = log A 3 Sup>) = log A 3 /Sup>) = loggen.sub> ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3*log A ( x . Generelt log a ( x n ) = n *log A ( x ), selv om n er ikke et helt tall.}}

Disse reglene kan kombineres for å utvide logguttrykk for mer kompleks karakter. For eksempel kan man bruke den andre regelen på å logge _{a ( x ^{2 y / z ), og oppnå uttrykksloggen}} em> em> . Logg _{A (z). Deretter kan den første regelen brukes på den første termen, og avgir log a ( x ^{2 ) + log a ( y ) - log . Til slutt fører det å bruke den tredje regelen til uttrykket 2*log a ( x ) + loG A ( y ) - Logg A ( z ).}}

Utvidende logaritmer gjør det mulig å løse mange ligninger raskt. For eksempel kan noen åpne en sparekonto med $ 400 amerikanske dollar. Hvis kontoen betaler 2 prosent årlig rente sammensatt månedlig, kan antallet måneder som kreves før kontoen dobler i verdi, finnes med ligningen 400*(1 + 0,02/12) ^m = 800. Deling av BLY> 10 (1 + 0,02/12) ^{m = log _{10 (2).}}

Denne ligningen kan forenkles ved å bruke strømregelen til m *log _{10 (1 + 0,02/12) = log 10 (2). Bruke en kalkulator for å finne logaritmene gir m *(0.00072322) = 0.30102. Man finner ved å løse for m at det vil ta 417 måneder for kontoen å doble i verdi hvis ingen ekstra penger blir satt inn.}