Hva utvider logaritmer?
Mange ligninger kan forenkles ved å utvide logaritmer. Begrepet "utvidende logaritmer" refererer ikke til logaritmer som utvider seg, men snarere til en prosess der ett matematisk uttrykk erstattes av et annet etter spesifikke regler. Det er tre slike regler. Hver av dem tilsvarer en spesiell egenskap til eksponenter fordi det å ta en logaritme er den funksjonelle inverse av eksponentiering: log 3 (9) = 2 fordi 3 2 = 9.
Den vanligste regelen for å utvide logaritmer brukes til å skille produkter. Logaritmen til et produkt er summen av de respektive logaritmene: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Denne ligningen er avledet fra formelen a x * a y = a x + y . Det kan utvides til flere faktorer: logg a ( x * y * z * w ) = logg a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Å heve et tall til en negativ kraft tilsvarer å heve det gjensidige til en positiv kraft: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. Den ekvivalente egenskapen for logaritmer er at loggen a (1 / x ) = -log a ( x ). Når denne egenskapen er kombinert med produktregelen, gir den en lov for å ta logaritmen til et forhold: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
Den endelige regelen for å utvide logaritmer angår logaritmen til et tall hevet til en makt. Ved å bruke produktregelen finner man at log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). Tilsvarende logg a ( x 3 ) = logg a ( x ) + logg a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). Generelt logger du a ( x n ) = n * logger a ( x ), selv om n ikke er et helt tall.
Disse reglene kan kombineres for å utvide logguttrykk med mer sammensatt karakter. For eksempel kan man bruke den andre regelen for å logge a ( x 2 y / z ), få uttrykk loggen a ( x 2 y ) - log a (z). Da kan den første regelen brukes på den første termen, og gir logg a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Til slutt fører anvendelsen av den tredje regelen til uttrykket 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
Ved å utvide logaritmer kan mange likninger løses raskt. For eksempel kan noen åpne en sparekonto med $ 400 amerikanske dollar. Hvis kontoen betaler 2 prosent rente årlig sammensatt månedlig, kan antall måneder som kreves før kontoen dobles i verdi, finnes med ligningen 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Deling med 400 avkastning (1 + 0,02 / 12) m = 2. Å ta bas-10 logaritmen fra begge sider genererer ligningsloggen 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
Denne ligningen kan forenkles ved å bruke maktregelen til å m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Å bruke en kalkulator for å finne logaritmene gir m * (0,00072322) = 0,30102. Man finner ved å løse for m at det vil ta 417 måneder før kontoen dobles i verdi hvis ingen ekstra penger blir satt inn.