O que são logaritmos de expansão?
Muitas equações podem ser simplificadas expandindo os logaritmos. O termo "logaritmos em expansão" não se refere a logaritmos que se expandem, mas a um processo pelo qual uma expressão matemática é substituída por outra de acordo com regras específicas. Existem três dessas regras. Cada um deles corresponde a uma propriedade particular dos expoentes porque assumir um logaritmo é o inverso funcional da exponenciação: log 3 (9) = 2 porque 3 2 = 9.
A regra mais comum para expandir logaritmos é usada para separar produtos. O logaritmo de um produto é a soma dos respectivos logaritmos: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Esta equação é derivada da fórmula a x * a y = a x + y . Pode ser estendido a vários fatores: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Elevar um número a uma potência negativa equivale a elevar sua recíproca a uma potência positiva: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. A propriedade equivalente para logaritmos é que log a (1 / x ) = -log a ( x ). Quando essa propriedade é combinada com a regra do produto, ela fornece uma lei para obter o logaritmo de uma proporção: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
A regra final para expandir logaritmos refere-se ao logaritmo de um número elevado a uma potência. Usando a regra do produto, verifica-se que log a ( x 2 ) = log a ( x ) + log a ( x ) = 2 * log a ( x ). Da mesma forma, log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). Em geral, log a ( x n ) = n * log a ( x ), mesmo que n não seja um número inteiro.
Essas regras podem ser combinadas para expandir expressões de log de caracteres mais complexos. Por exemplo, pode-se aplicar a segunda regra para registrar a ( x 2 y / z ), obtendo a expressão log a ( x 2 y ) - log a (z). Então a primeira regra pode ser aplicada ao primeiro termo, produzindo log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Por fim, a aplicação da terceira regra leva à expressão 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
A expansão dos logaritmos permite que muitas equações sejam resolvidas rapidamente. Por exemplo, alguém pode abrir uma conta poupança com US $ 400 dólares. Se a conta pagar 2% de juros anuais compostos mensalmente, o número de meses necessário para que a conta dobre em valor pode ser encontrado com a equação 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Dividindo por 400 rendimentos (1 + 0,02 / 12) m = 2. Tomando o logaritmo da base 10 de ambos os lados, gera a equação log 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
Esta equação pode ser simplificada usando a regra de potência para m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Usando uma calculadora para encontrar os logaritmos, obtém-se m * (0,00072322) = 0,30102. Constata-se, ao resolver para m, que levará 417 meses para a conta dobrar de valor se nenhum dinheiro adicional for depositado.