Que sont les logarithmes en expansion?
De nombreuses équations peuvent être simplifiées en développant des logarithmes. Le terme "logarithmes en expansion" ne désigne pas les logarithmes qui se développent, mais plutôt un processus par lequel une expression mathématique est remplacée par une autre selon des règles spécifiques. Il existe trois règles de ce type. Chacune d'elles correspond à une propriété particulière des exposants car prendre un logarithme est l'inverse fonctionnel de l'exponentiation: log 3 (9) = 2 car 3 2 = 9.
La règle la plus courante pour développer les logarithmes est utilisée pour séparer les produits. Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes respectifs: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Cette équation est dérivée de la formule a x * a y = a x + y . Il peut être étendu à plusieurs facteurs: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).
Élever un nombre à une puissance négative équivaut à élever son nombre à une puissance positive: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. La propriété équivalente pour les logarithmes est que log a (1 / x ) = -log a ( x ). Lorsque cette propriété est combinée à la règle de produit, elle fournit une loi permettant de prendre le logarithme d'un ratio: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).
La dernière règle pour l’extension des logarithmes concerne le logarithme d’un nombre élevé à une puissance. En utilisant la règle du produit, on trouve que journal a ( x 2 ) = journal a ( x ) + journal a ( x ) = 2 * journal a ( x ). De même, log a ( x 3 ) = log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * log a ( x ). En règle générale, notez a ( x n ) = n * notez a ( x ), même si n n’est pas un nombre entier.
Ces règles peuvent être combinées pour développer les expressions de journal de caractère plus complexe. Par exemple, on peut appliquer la deuxième règle pour consigner a ( x 2 y / z ), en obtenant l'expression log a ( x 2 y ) - log a (z). La première règle peut ensuite être appliquée au premier terme, ce qui donne log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Enfin, l'application de la troisième règle conduit à l'expression 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).
L'élargissement des logarithmes permet de résoudre rapidement de nombreuses équations. Par exemple, quelqu'un peut ouvrir un compte d'épargne avec 400 dollars US. Si le compte paie 2% d’intérêts annuels composés mensuellement, on trouvera le nombre de mois nécessaires avant que la valeur du compte ne double, avec l’équation 400 * (1 + 0.02 / 12) m = 800. Divisant par 400 rendements (1 + 0,02 / 12) m = 2. Prendre le logarithme en base 10 des deux côtés génère l'équation log 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).
Cette équation peut être simplifiée à l'aide de la règle de puissance jusqu'à m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Utiliser une calculatrice pour trouver les logarithmes donne m * (0.00072322) = 0.30102. On trouve à la résolution de m qu'il faudra 417 mois pour que la valeur du compte double de valeur si aucune somme supplémentaire n'est déposée.