Que sont les logarithmes en expansion?

De nombreuses équations peuvent être simplifiées par l'expansion des logarithmes. Le terme «logarithmes en expansion» ne fait pas référence aux logarithmes qui se développent mais plutôt à un processus par lequel une expression mathématique est remplacée par une autre selon des règles spécifiques. Il existe trois de ces règles. Chacun d'eux correspond à une propriété particulière des exposants car la prise d'un logarithme est l'inverse fonctionnel de l'exponentiation: log 3 (9) = 2 car 3

2 = 9.

La règle la plus courante pour l'expansion des logarithmes est utilisée pour séparer les produits. Le logarithme d'un produit est la somme des logarithms respectifs: log a ( x * y ) = log a ( x ) + log a (y). Cette équation est dérivée de la formule a

x * a

y

= a

x + y

. Il peut être étendu à plusieurs facteurs: log a ( x * y * z * w ) = log a ( x ) + log a ( y ) + log a ( z ) + log a ( w ).

Raising Un nombre à une puissance négative équivaut à augmenter son réciproque à une puissance positive: 5 -2 (1/5) 2 = 1/25. La propriété équivalente pour les logarithmes est que le log _{a (1 / x ) = -log a ( x ). Lorsque cette propriété est combinée avec la règle du produit, elle fournit une loi pour prendre le logarithme d'un rapport: log a ( x / y ) = log a ( x ) -) -) -) - Log a
( y ).}

La règle finale pour l'expansion des logarithmes se rapporte au logarithme d'un nombre soulevé à une puissance. En utilisant la règle du produit, on trouve que le journal _{a ( x}

2

) = Log _{a ( x ) + log a ( x ) = 2 * Log a ( x ). De même, Log a ( x ³ ) = log a} ( x ) + log a ( x ) + log a ( x ) = 3 * Log a ( x ). En général, Log a ( x

n

) = n * Log a ( x ), même si n n'est pas un nombre total.

)

Ces règles peuvent être combinées pour étendre les expressions de journal de caractère plus complexe. Par exemple, on peut appliquer la deuxième règle pour log a ( x ²

y / z ), obtenant le log de l'expression _a ( x

2

y - Log a (z). Ensuite, la première règle peut être appliquée au premier terme, donnant le journal a ( x

2

) + Log a ( y ) - Log a ( z ). Enfin, l'application de la troisième règle conduit à l'expression 2 * log a ( x ) + loG a ( y ) - log a ( z ).

Les logarithmes en expansion permet de résoudre rapidement de nombreuses équations. Par exemple, quelqu'un pourrait ouvrir un compte d'épargne avec 400 dollars américains. Si le compte paie 2% d'intérêts annuels composés mensuellement, le nombre de mois requis avant que le compte double en valeur peut être trouvé avec l'équation 400 * (1 + 0,02 / 12)

M = 800. Divide par 400 rendements (1 + 0,02 / 12) ^m

= 2. Log 10 (1 + 0,02/12) M = Log 10 (2).

Cette équation peut être simplifiée à l'aide de la règle de puissance à m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log _{10 (2). L'utilisation d'une calculatrice pour trouver le logarithms donne m * (0,00072322) = 0,30102. On trouve lors de la résolution de m qu'il faudra 417 mois pour que le compte double de valeur si aucun argent supplémentaire n'est déposé.}