Quel est le théorème de la limite centrale?
Le théorème central limite de la statistique indique que la somme ou la moyenne d'un grand nombre de variables aléatoires se rapproche de la distribution normale. Il peut également être appliqué aux distributions binomiales. Plus la taille de l'échantillon est grande, plus la distribution sera proche de la distribution normale.
La distribution normale, qui est approchée par le théorème de la limite centrale, a la forme d’une courbe en cloche symétrique. Les distributions normales sont décrites par la moyenne, qui est représentée par la lettre grecque mu, et par l'écart type, représenté par sigma. La moyenne est simplement la moyenne et c'est le point auquel la courbe de cloche culmine. Les écarts-types indiquent l'étendue des variables dans la distribution - un écart-type inférieur entraînera une courbe plus étroite.
La manière dont les variables aléatoires sont réparties n’importe pas pour le théorème de la limite centrale: la somme ou la moyenne des variables se rapprochera d’une distribution normale si l’échantillon est suffisamment grand. La taille de l'échantillon des variables aléatoires est importante car des échantillons aléatoires sont tirés de la population pour obtenir la somme ou la moyenne. Le nombre d'échantillons prélevés et la taille de ces échantillons sont importants.
Pour calculer une somme à partir d'un échantillon tiré de variables aléatoires, une taille d'échantillon est d'abord choisie. La taille de l'échantillon peut être aussi petite que deux ou très grande. Il est tiré au hasard, puis les variables de l'échantillon sont additionnées. Cette procédure est répétée plusieurs fois et les résultats sont représentés graphiquement sur une courbe de distribution statistique. Si le nombre d'échantillons et la taille de l'échantillon sont suffisamment importants, la courbe sera très proche de la distribution normale.
Les échantillons sont tirés pour les moyennes dans le théorème de la limite centrale de la même manière que pour les sommes, mais au lieu d’ajouter, la moyenne de chaque échantillon est calculée. Une taille d'échantillon plus grande donne des résultats plus proches de la distribution normale et conduit généralement à un écart-type plus faible également. En ce qui concerne les sommes, un plus grand nombre d'échantillons donne une meilleure approximation de la distribution normale.
Le théorème de la limite centrale s'applique également aux distributions binomiales. Les distributions binomiales sont utilisées pour des événements avec seulement deux résultats possibles, tels que lancer une pièce de monnaie. Ces distributions sont décrites par le nombre d'essais réalisés, n, et la probabilité de succès, p, pour chaque essai. Les déviations moyenne et standard pour une distribution binomiale sont calculées en utilisant n et p. Lorsque n est très grand, les écarts moyen et standard seront les mêmes pour la distribution binomiale que pour la distribution normale.