Qual è il teorema del limite centrale?
Il teorema del limite centrale nelle statistiche afferma che la somma o media di un numero elevato di variabili casuali si avvicina alla distribuzione normale. Può essere applicato anche alle distribuzioni binomiali. Maggiore è la dimensione del campione, più vicina sarà la distribuzione alla distribuzione normale.
La distribuzione normale, che viene avvicinata dal teorema del limite centrale, ha la forma di una curva a campana simmetrica. Le distribuzioni normali sono descritte dalla media, che è rappresentata dalla lettera greca mu, e dalla deviazione standard, rappresentata dal sigma. La media è semplicemente la media ed è il punto in cui si alza la curva della campana. Le deviazioni standard indicano la diffusione delle variabili nella distribuzione: una deviazione standard più bassa comporterà una curva più stretta.
Il modo in cui le variabili casuali sono distribuite non ha importanza per il teorema del limite centrale: la somma o la media delle variabili si avvicinano comunque a una distribuzione normale se la dimensione del campione è abbastanza grande. La dimensione del campione delle variabili casuali è importante perché i campioni casuali vengono estratti dalla popolazione per ottenere la somma o la media. È importante sia il numero di campioni prelevati che la dimensione di tali campioni.
Per calcolare una somma da un campione estratto da variabili casuali, viene innanzitutto scelta una dimensione del campione. La dimensione del campione può essere piccola quanto due o può essere molto grande. Viene disegnato in modo casuale e quindi le variabili nel campione vengono sommate. Questa procedura viene ripetuta più volte e i risultati sono rappresentati graficamente su una curva di distribuzione statistica. Se il numero di campioni e la dimensione del campione sono abbastanza grandi, la curva sarà molto vicina alla distribuzione normale.
I campioni vengono estratti per mezzo del teorema del limite centrale allo stesso modo delle somme, ma invece di aggiungere viene calcolata la media di ciascun campione. Una dimensione del campione più grande offre risultati più vicini alla distribuzione normale e di solito comporta anche una deviazione standard più piccola. Per quanto riguarda le somme, un numero maggiore di campioni fornisce una migliore approssimazione alla distribuzione normale.
Il teorema del limite centrale si applica anche alle distribuzioni binomiali. Le distribuzioni binomiali vengono utilizzate per eventi con solo due possibili esiti, come lanciare una moneta. Queste distribuzioni sono descritte dal numero di prove eseguite, n, e dalla probabilità di successo, p, per ciascuna prova. La media e le deviazioni standard per una distribuzione binomiale sono calcolate usando n e p. Quando n è molto grande, le deviazioni medie e standard saranno le stesse per la distribuzione binomiale e per la distribuzione normale.