Hvad er den centrale begrænsningssætning?

Den centrale grænse-sætning i statistikker angiver, at summen eller gennemsnittet af et stort antal tilfældige variabler er tilnærmelsesmessig med den normale fordeling. Det kan også anvendes til binomial distribution. Jo større prøvestørrelse, jo tættere vil fordelingen være den normale distribution.

Den normale fordeling, der nærmer sig den centrale grænsesteorem, er formet som en symmetrisk klokkekurve. Normale fordelinger er beskrevet med middelværdien, der er repræsenteret med det græske bogstav mu, og standardafvigelsen repræsenteret af sigma. Middelværdien er simpelthen gennemsnittet, og det er det punkt, hvor klokkekurven topper. Standardafvigelser angiver, hvor spredte variablerne i fordelingen er - et lavere standardafvigelse vil resultere i en smallere kurve.

Hvordan de tilfældige variabler fordeles, betyder ikke noget for den centrale grænsesteorem - summen eller gennemsnittet af variablerne vil stadig nærme sig en normal fordeling, hvis der er en stor nok prøvestørrelse. Prøvestørrelsen af ​​de tilfældige variabler er vigtig, fordi tilfældige prøver trækkes fra populationen for at få summen eller gennemsnittet. Både antallet af prøver, der er trukket, og størrelsen på disse prøver er vigtigt.

For at beregne en sum fra en prøve trukket fra tilfældige variabler vælges først en prøvestørrelse. Prøvestørrelsen kan være så lille som to, eller den kan være meget stor. Det tegnes tilfældigt, og derefter tilføjes variablerne i prøven sammen. Denne procedure gentages mange gange, og resultaterne tegnes på en statistisk fordelingskurve. Hvis antallet af prøver og prøvestørrelsen er stort nok, vil kurven være meget tæt på den normale fordeling.

Prøver udtages for midler i den centrale grænse-sætning på samme måde som for summer, men i stedet for at tilføje beregnes gennemsnittet af hver prøve. En større prøvestørrelse giver resultater tættere på den normale fordeling og resulterer normalt også i en mindre standardafvigelse. Med hensyn til summerne giver et større antal prøver en bedre tilnærmelse til den normale fordeling.

Den centrale begrænsningssætning gælder også binomialfordeling. Binomialfordelinger bruges til begivenheder med kun to mulige resultater, såsom at vende en mønt. Disse fordelinger er beskrevet af antallet af udførte forsøg, n og sandsynligheden for succes, p, for hvert forsøg. Gennemsnit og standardafvigelser for en binomial fordeling beregnes ved hjælp af n og p. Når n er meget stor, vil middel- og standardafvigelserne være de samme for den binomiale fordeling som for den normale fordeling.