Wat is een lineaire relatie?
Een lineair verband treedt op wanneer een wijziging in een of meer onafhankelijke variabelen met een macht van één of nul een afhankelijke variabele beïnvloedt. Lineaire relaties worden op plots weergegeven als rechte lijnen. In statistieken wordt lineaire regressie gebruikt om een lineaire vergelijking te passen door een set gegevenspunten die lineair gerelateerd zijn. Een voorbeeld uit de financiële theorie is de beveiligingskenmerklijn, die de lineaire relatie beschrijft tussen het overtollige rendement van een actief en de markt.
Lineaire relaties worden meestal beschreven door lineaire vergelijkingen geschreven in de helling-onderscheppingsvorm y = mx + b. De onafhankelijke variabele x wordt uitgezet op de horizontale as en de afhankelijke variabele y wordt uitgezet op de verticale as. De constante m is de helling of steilheid van de rechte lijn. De constante b wordt het y-onderschepping genoemd en is de waarde van y wanneer de lijn de verticale as kruist.
Als een set gegevenspunten een perfect lineaire relatie heeft, vormt hun plot een rechte lijn. Dit gebeurt zelden met gegevens uit de echte wereld, hoewel er een sterk lineair verband kan bestaan tussen twee variabelen. Andere keren zijn de gegevens zwak lineair, maar een lineaire vergelijking is nog steeds interessant omdat het gemakkelijk is om mee te werken en te modelleren. In beide gevallen kunnen lineaire regressietechnieken, zoals de kleinste kwadratenmethode, worden gebruikt om de relatie te beschrijven.
Het bestuderen van de lineaire relatie tussen twee variabelen kan nuttig zijn bij het voorspellen van toekomstig gedrag. Lineaire regressie kan bijvoorbeeld worden gebruikt voor gegevens over lonen over de afgelopen tien jaar, waarbij lonen als functie van de tijd worden beschouwd. Verwachte lonen voor een bepaald jaar kunnen worden berekend met behulp van de lineaire vergelijking en deze informatie kan worden gebruikt om te sparen en met pensioen te gaan.
In het Capital Asset Pricing Model wordt de beveiligingskenmerklijn afgeleid door lineaire regressie op de historische gegevens van een actief en beschrijft deze de lineaire relatie tussen systematisch en niet-systematisch risico. De onafhankelijke variabele is het overtollige rendement van de markt en de afhankelijke variabele is het overtollige rendement van het actief. De y-intercept genaamd alpha meet het rendement van een investering gezien het risico. Als alpha positief is, heeft de belegging te veel gepresteerd, indien negatief heeft ze te weinig gepresteerd, en als nul is het rendement voldoende gezien de risico's van de investering.
De helling van de karakteristieke lijn wordt bèta genoemd en beschrijft de gevoeligheid van het actief voor veranderingen in de markt. Een positieve bèta betekent dat de prijs van het actief met de markt meebeweegt. Als de bèta tussen nul en één ligt, zal de prijs van het actief evenveel schommelen als de markt en kan de volatiliteit van een portefeuille worden verminderd. Als de bèta groter is dan één, zal het actief beter presteren dan de markt als de markt toeneemt, maar zal het beter presteren als de markt daalt, waardoor hogere inkomsten of verliezen mogelijk zijn.