Was ist eine lineare Beziehung?
Eine lineare Beziehung liegt vor, wenn eine Änderung einer oder mehrerer unabhängiger Variablen mit einer Potenz von eins oder null eine abhängige Variable beeinflusst. Lineare Beziehungen werden in Diagrammen als gerade Linien dargestellt. In der Statistik wird die lineare Regression verwendet, um eine lineare Gleichung durch einen Satz von Datenpunkten anzupassen, die linear zusammenhängen. Ein Beispiel aus der Finanztheorie ist die Sicherheitskennlinie, die das lineare Verhältnis zwischen den Überschussrenditen eines Vermögenswerts und den Marktrenditen beschreibt.
Lineare Beziehungen werden typischerweise durch lineare Gleichungen beschrieben, die in der Steigungsschnittform y = mx + b geschrieben sind. Auf der horizontalen Achse ist die unabhängige Variable x und auf der vertikalen Achse die abhängige Variable y aufgetragen. Die Konstante m ist die Steigung oder Steilheit der Geraden. Die Konstante b wird als y-Achsenabschnitt bezeichnet und ist der Wert von y, wenn die Linie die vertikale Achse schneidet.
Wenn eine Menge von Datenpunkten eine perfekt lineare Beziehung aufweist, wird ihre Darstellung eine gerade Linie bilden. Bei realen Daten tritt dies selten auf, obwohl eine starke lineare Beziehung zwischen zwei Variablen bestehen kann. In anderen Fällen sind die Daten schwach linear, aber eine lineare Gleichung ist immer noch interessant, da es einfach ist, mit ihr zu arbeiten und sie zu modellieren. In beiden Fällen können lineare Regressionstechniken wie die Methode der kleinsten Quadrate verwendet werden, um die Beziehung zu beschreiben.
Das Studium der linearen Beziehung zwischen zwei Variablen kann hilfreich sein, um zukünftige Verhaltensweisen vorherzusagen. Beispielsweise könnte eine lineare Regression für Daten über die Lohnsätze in den letzten zehn Jahren verwendet werden, wobei die Löhne als Funktion der Zeit betrachtet werden. Die erwarteten Lohnsätze für ein bestimmtes Jahr können unter Verwendung der linearen Gleichung berechnet werden, und diese Informationen können zum Budgetieren von Ersparnissen und Renten verwendet werden.
Im Capital Asset Pricing Model wird die Sicherheitskennlinie durch lineare Regression der historischen Daten eines einzelnen Vermögenswerts abgeleitet und beschreibt die lineare Beziehung zwischen systematischem und unsystematischem Risiko. Die unabhängige Variable ist die Überrendite des Marktes, und die abhängige Variable ist die Überrendite des Vermögenswertes. Der als Alpha bezeichnete y-Achsenabschnitt misst die Rendite einer Investition in Anbetracht ihres Risikos. Wenn Alpha positiv ist, hat die Anlage eine Überperformance erzielt, wenn Negativ eine Unterperformance erzielt hat, und wenn Null, sind die Renditen angesichts der Risiken der Anlage angemessen.
Die Steigung der Kennlinie wird als Beta bezeichnet und beschreibt die Empfindlichkeit des Vermögenswerts gegenüber Marktveränderungen. Ein positives Beta bedeutet, dass sich der Preis des Vermögenswerts mit dem Markt bewegt. Wenn das Beta zwischen null und eins liegt, schwankt der Preis des Vermögenswerts genauso stark wie der Markt und kann die Volatilität eines Portfolios verringern. Wenn das Beta größer als eins ist, wird der Vermögenswert den Markt übertreffen, wenn der Markt steigt, aber den Markt unterbieten, wenn der Markt sinkt, was höhere Gewinne oder Verluste ermöglicht.