Wat is een binomiale verdeling?
Een binomiale verdeling met parameters (n, p) geeft de discrete waarschijnlijkheid van x successen uit n proeven, met de waarschijnlijkheid van succes p, ervan uitgaande dat elke proef onafhankelijk is en de uitkomst van een proef een succes of een mislukking is. Het gemiddelde aantal successen uit n proeven is het gemiddelde np, en de variantie is np (1-p). De binomiaal behoort tot een familie van gebeurtenisgerelateerde distributies, waaronder de negatieve binomiaal en de Bernouilli-distributie. Omdat de binomiale verdeling waarschijnlijk wordt berekend met behulp van de factorfunctie, die erg groot wordt naarmate het aantal proeven toeneemt, wordt typisch de binomiale verdeling van een normale of een Poisson-verdeling gebruikt.
Een eerlijke munt wordt bijvoorbeeld twee keer omgedraaid en een succes wordt gedefinieerd als koppen krijgen. Het aantal proeven is n = 2 en de kans op een kop gooien is p = ½. De resultaten kunnen worden samengevat in een binomiale verdelingstabel: de kans om geen koppen te krijgen, P (x = 0) is 25%, de kans op één kop, P (x = 1) is 50% en de kans op twee koppen P (x = 2) is 25%. Het verwachte aantal geworpen koppen is np = 2 * 1/2 = 1. De variantie is np (1-p) = ½.
Andere distributies beschrijven de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen en behoren tot dezelfde familie als de binomiale. Een Bernouilli-verdeling geeft de kans op succes van een enkele gebeurtenis en is gelijk aan een binomiaal met n = 1. De negatieve binomiaalverdeling geeft de kans op x-fouten, terwijl de reguliere binomiaal de kans op x-successen geeft.
Vaak wordt de cumulatieve dichtheidsfunctie van de binomiale verdeling gebruikt, wat de kans geeft op x of minder successen in n proeven. Het berekenen van deze kans is eenvoudig voor een kleine n, maar wordt vervelend naarmate n groter wordt, vanwege de binomiale coëfficiënt. De binomiale coëfficiënt wordt gelezen "n kies x" en verwijst naar het aantal combinaties dat x uitkomsten kunnen worden gekozen uit n mogelijkheden. Het wordt berekend met behulp van de faculteit. Aangezien het aantal proeven (n) groter wordt dan 70, wordt n factorial enorm en kan deze niet langer worden berekend met een standaardcalculator.
De benadering van de binomiale verdeling wanneer n groot wordt, kan discreet of continu zijn. Als n erg groot is en p erg klein is, wordt de binomiale verdeling een discrete Poisson-verdeling. Als n voldoende groot is zonder enige beperking op p, dan kan de binomiale normale verdelingbenadering worden gebruikt. Het binomiale gemiddelde en de standaarddeviatie worden de parameters van de normale verdeling en een correctie voor continuïteit wordt toegepast bij het berekenen van de cumulatieve dichtheidsfunctie.