Che cos'è una distribuzione binomiale?
Una distribuzione binomiale con parametri (n, p) dà la probabilità discreta di avere x successi su n prove, con probabilità di successo p, supponendo che ogni prova sia indipendente e il risultato di una prova sia un successo che un fallimento. Il numero medio di successi su n prove è la media np e la varianza è np (1-p). Il binomio appartiene a una famiglia di distribuzioni correlate agli eventi, incluso il binomio negativo e la distribuzione di Bernouilli. Poiché la probabilità di distribuzione binomiale viene calcolata utilizzando la funzione fattoriale, che aumenta molto con l'aumentare del numero di prove, viene generalmente utilizzata l'approssimazione della distribuzione binomiale di una distribuzione normale o di Poisson.
Ad esempio, una moneta giusta viene lanciata due volte e un successo viene definito come ottenere teste. Il numero di prove è n = 2 e la probabilità di lanciare una testa è p = ½. I risultati possono essere riassunti in una tabella di distribuzione binomiale: la probabilità di non ottenere teste, P (x = 0) è del 25%, la probabilità di una testa, P (x = 1) è del 50% e la probabilità di due teste P (x = 2) è del 25%. Il numero previsto di teste lanciate è np = 2 * 1/2 = 1. La varianza è np (1-p) = ½.
Altre distribuzioni descrivono la probabilità di eventi e appartengono alla stessa famiglia del binomio. Una distribuzione di Bernouilli dà la probabilità di successo di un singolo evento ed è equivalente a un binomio con n = 1. La distribuzione binomiale negativa dà la probabilità di avere x fallimenti, mentre come il binomio normale dà la probabilità di x successi.
Spesso viene utilizzata la funzione di densità cumulativa della distribuzione binomiale, che dà la probabilità di avere x o meno successi in n prove. Il calcolo di questa probabilità è semplice per una piccola n, ma diventa noioso quando n diventa grande, a causa del coefficiente binomiale. Il coefficiente binomiale viene letto "n scegli x" e si riferisce al numero di combinazioni tra cui x risultati possono essere scelti da n possibilità. Viene calcolato utilizzando la funzione fattoriale. Man mano che il numero di prove (n) supera 70, n fattoriale diventa enorme e non può più essere calcolato su una calcolatrice standard.
L'approssimazione della distribuzione binomiale quando n diventa grande può essere discreta o continua. Se n è molto grande e p è molto piccolo, la distribuzione binomiale diventa una distribuzione discreta di Poisson. Se n è sufficientemente grande senza alcun vincolo su p, è possibile utilizzare l'approssimazione della distribuzione normale binomiale. La media binomiale e la deviazione standard diventano i parametri della distribuzione normale e nel calcolo della funzione di densità cumulativa viene applicata una correzione per la continuità.