O que é uma distribuição binomial?
Uma distribuição binomial com os parâmetros (n, p) fornece a probabilidade discreta de ter x sucessos em n tentativas, com a probabilidade de sucesso p, assumindo que cada tentativa seja independente e o resultado de uma tentativa seja um sucesso ou uma falha. O número médio de sucessos de n tentativas é a média np e a variação é np (1-p). O binômio pertence a uma família de distribuições relacionadas a eventos, incluindo o binômio negativo e a distribuição de Bernouilli. Como a probabilidade de distribuição binomial é calculada usando a função fatorial, que é muito grande à medida que o número de tentativas aumenta, normalmente é usada a aproximação da distribuição binomial de uma distribuição normal ou de Poisson.
Por exemplo, uma moeda justa é lançada duas vezes e um sucesso é definido como ganhar cara. O número de tentativas é n = 2 e a probabilidade de lançar uma cabeça é p = ½. Os resultados podem ser resumidos em uma tabela de distribuição binomial: a probabilidade de não obter cabeças, P (x = 0) é de 25%, a probabilidade de uma cabeça, P (x = 1) é de 50% e a probabilidade de duas cabeças P (x = 2) é 25%. O número esperado de cabeças lançadas é np = 2 * 1/2 = 1. A variação é np (1-p) = ½.
Outras distribuições descrevem a probabilidade de eventos e pertencem à mesma família que o binômio. Uma distribuição de Bernouilli fornece a probabilidade de sucesso de um único evento e é equivalente a um binômio com n = 1. A distribuição binomial negativa fornece a probabilidade de ter x falhas, enquanto que o binômio regular fornece a probabilidade de x sucessos.
Freqüentemente, a função de densidade cumulativa da distribuição binomial é usada, o que fornece a probabilidade de ter x ou menos sucessos em n ensaios. O cálculo dessa probabilidade é simples para um n pequeno, mas torna-se entediante à medida que n aumenta, devido ao coeficiente binomial. O coeficiente binomial é lido como “n escolhe x” e refere-se ao número de combinações em que x resultados podem ser selecionados entre n possibilidades. É calculado usando a função fatorial. À medida que o número de tentativas (n) é maior que 70, n fatorial se torna enorme e não pode mais ser calculado em uma calculadora padrão.
A aproximação da distribuição binomial quando n fica grande pode ser discreta ou contínua. Se n for muito grande ep for muito pequeno, a distribuição binomial se tornará uma distribuição discreta de Poisson. Se n for suficientemente grande sem qualquer restrição em p, então a aproximação da distribuição normal binomial pode ser usada. A média binomial e o desvio padrão tornam-se os parâmetros da distribuição normal e uma correção de continuidade é aplicada ao calcular a função de densidade cumulativa.