Co je binomická distribuce?

Binomické rozdělení s parametry (n, p) dává diskrétní pravděpodobnost, že x úspěchů z n pokusů, s pravděpodobností úspěchu p, za předpokladu, že každá studie je nezávislá a výsledek pokusu je buď úspěch nebo selhání. Průměrný počet úspěchů z n pokusů je průměr np a rozptyl je np (1-p). Binomial patří do rodiny distribucí souvisejících s událostmi, včetně negativního binomického a Bernouilliho distribuce. Protože pravděpodobnost binomického rozdělení je počítána pomocí faktoriální funkce, která se s rostoucím počtem pokusů velmi zvyšuje, obvykle se používá aproximace binomického rozdělení normální nebo Poissonovy distribuce.

Například, férová mince je převrácena dvakrát a úspěch je definován jako získání hlav. Počet pokusů je n = 2 a pravděpodobnost házení hlavy je p = ½. Výsledky lze shrnout do binomické distribuční tabulky: pravděpodobnost, že nedostanou žádné hlavy, P (x = 0) je 25%, pravděpodobnost jedné hlavy, P (x = 1) je 50% a pravděpodobnost dvou hlav P (x = 2) je 25%. Očekávaný počet házených hlav je np = 2 * 1/2 = 1. Rozptyl je np (1-p) = ½.

Další distribuce popisují pravděpodobnost událostí a patří do stejné rodiny jako binomické. Bernouilliho distribuce dává pravděpodobnost úspěchu jedné události a je ekvivalentní s binomií s n = 1. Negativní binomické rozdělení dává pravděpodobnost výskytu x selhání, kde jako normální binomie dává pravděpodobnost x úspěchů.

Často se používá funkce kumulativní hustoty binomického rozdělení, což dává pravděpodobnost, že v n pokusech bude mít x nebo méně úspěchů. Vypočítání této pravděpodobnosti je jednoduché pro malé n, ale stává se únavné, když se n zvětší kvůli binomickému koeficientu. Binomický koeficient se čte „n select x“ a vztahuje se na počet kombinací, z nichž x lze vybrat z n možností. Vypočítá se pomocí faktoriální funkce. Jak se počet pokusů (n) zvětšuje na 70, n je faktoriál obrovský a nelze jej vypočítat na standardní kalkulačce.

Přibližování binomické distribuce, když je n velké, může být diskrétní nebo spojité. Pokud je n velmi velké a p je velmi malé, pak se binomické rozdělení stává diskrétním Poissonovým rozdělením. Pokud je n dostatečně velké bez jakéhokoli omezení na p, může být použita aproximace binomického normálního rozdělení. Binomický průměr a směrodatná odchylka se stanou parametry normálního rozdělení a při výpočtu funkce kumulativní hustoty se použije korekce na kontinuitu.