Qu'est-ce qu'une distribution binomiale?
Une distribution binomiale avec des paramètres (n, p) donne la probabilité discrète d'avoir x succès sur n essais, avec la probabilité de succès p, en supposant que chaque essai est indépendant et que le résultat d'un essai est un succès ou un échec. Le nombre moyen de succès sur n essais est le np moyen et la variance est np (1-p). Le binôme appartient à une famille de distributions liées à des événements, notamment le binôme négatif et la distribution de Bernouilli. Étant donné que la probabilité de distribution binomiale est calculée à l'aide de la fonction factorielle, qui devient très importante à mesure que le nombre d'essais augmente, on utilise généralement l'approximation de la distribution binomiale d'une distribution normale ou de Poisson.
Par exemple, une pièce de monnaie équitable est retournée deux fois et un succès est défini comme obtenir des têtes. Le nombre d'essais est n = 2 et la probabilité de lancer une tête est p = ½. Les résultats peuvent être résumés dans un tableau de distribution binomiale: la probabilité de ne pas avoir de têtes, P (x = 0) est de 25%, la probabilité d’une tête, P (x = 1) est de 50% et la probabilité de deux têtes P (x = 2) est 25%. Le nombre attendu de têtes lancées est np = 2 * 1/2 = 1. La variance est np (1-p) = ½.
D'autres distributions décrivent la probabilité d'événements et appartiennent à la même famille que le binôme. Une distribution de Bernouilli donne la probabilité de succès d'un seul événement et équivaut à un binôme avec n = 1. La distribution binomiale négative donne la probabilité d'avoir x échecs, alors que le binôme régulier donne la probabilité de x succès.
La fonction de densité cumulative de la distribution binomiale est souvent utilisée, ce qui donne la probabilité d'avoir x succès ou moins dans n essais. Le calcul de cette probabilité est simple pour un petit n, mais devient fastidieux à mesure que n augmente, en raison du coefficient binomial. Le coefficient binomial est lu «n choisit x» et fait référence au nombre de combinaisons que x résultats peuvent être sélectionnés parmi n possibilités. Il est calculé à l'aide de la fonction factorielle. Lorsque le nombre d'essais (n) dépasse 70, n factoriel devient énorme et ne peut plus être calculé sur une calculatrice standard.
L'approximation de la distribution binomiale quand n devient grand peut être discrète ou continue. Si n est très grand et p est très petit, alors la distribution binomiale devient une distribution de Poisson discrète. Si n est suffisamment grand sans aucune contrainte sur p, alors l'approximation de la distribution normale binomiale peut être utilisée. La moyenne binomiale et l'écart type deviennent les paramètres de la distribution normale et une correction de continuité est appliquée lors du calcul de la fonction de densité cumulée.