Hva er en binomial distribusjon?

En binomial fordeling med parametere (n, p) gir den diskrete sannsynligheten for å ha x suksesser ut av n forsøk, med sannsynligheten for suksess p, forutsatt at hver prøve er uavhengig og utfallet av en prøve er enten en suksess eller en fiasko. Det gjennomsnittlige antall suksesser ut av n forsøk er gjennomsnittlig np, og variansen er np (1-p). Binomialen tilhører en familie med hendelsesrelaterte distribusjoner, inkludert den negative binomialen og Bernouilli-fordelingen. Siden sannsynligheten for binomial distribusjon beregnes ved bruk av faktorfunksjonen, som blir veldig stor etter hvert som antall forsøk øker, brukes vanligvis binomial distribusjons tilnærming av en normal eller en Poisson-distribusjon.

For eksempel blir en rettferdig mynt vendt to ganger, og en suksess er definert som å få hoder. Antall forsøk er n = 2 og sannsynligheten for å kaste et hode er p = ½. Resultatene kan oppsummeres i en binomial fordelingstabell: sannsynligheten for å få ingen hoder, P (x = 0) er 25%, sannsynligheten for ett hode, P (x = 1) er 50%, og sannsynligheten for to hoder P (x = 2) er 25%. Det forventede antall hoder som er kastet er np = 2 * 1/2 = 1. Variansen er np (1-p) = ½.

Andre fordelinger beskriver sannsynligheten for hendelser og tilhører samme familie som binomialen. En Bernouilli-fordeling gir sannsynligheten for suksess for en enkelt hendelse og tilsvarer en binomial med n = 1. Den negative binomiale fordelingen gir sannsynligheten for å ha x feil, hvor som den vanlige binomialen gir sannsynligheten for x suksesser.

Ofte brukes binomialfordelingens kumulative tetthetsfunksjon, noe som gir sannsynligheten for å ha x eller mindre suksesser i n forsøk. Beregning av denne sannsynligheten er enkel for en liten n, men blir kjedelig ettersom n blir stor på grunn av den binomielle koeffisienten. Binomialkoeffisienten leses “n velg x”, og viser til antall kombinasjoner som x utfall kan velges fra n muligheter. Det blir beregnet ved bruk av faktorfunksjonen. Etter hvert som antallet forsøk (n) blir større enn 70, blir n factorial enormt og kan ikke lenger beregnes på en standard kalkulator.

Binomialfordelingens tilnærming når n blir stor kan være diskret eller kontinuerlig. Hvis n er veldig stor og p er veldig liten, blir binomialfordelingen en diskret Poisson-distribusjon. Hvis n er tilstrekkelig stor uten begrensning på p, kan tilnærmingen til binomial normalfordeling brukes. Det binomiale middelverdien og standardavviket blir normalfordelingens parametere og en korreksjon for kontinuitet blir anvendt ved beregning av den kumulative tetthetsfunksjonen.