Co to jest rozkład dwumianowy?

Rozkład dwumianowy z parametrami (n, p) daje dyskretne prawdopodobieństwo uzyskania x sukcesów spośród n prób, z prawdopodobieństwem sukcesu p, zakładając, że każda próba jest niezależna, a wynik próby jest albo sukcesem, albo porażką. Średnia liczba sukcesów spośród n prób jest średnią np, a wariancja wynosi np (1-p). Dwumian należy do rodziny rozkładów związanych ze zdarzeniami, w tym ujemnego dwumianu i rozkładu Bernouilli. Ponieważ prawdopodobieństwo rozkładu dwumianowego oblicza się za pomocą funkcji czynnikowej, która staje się bardzo duża w miarę wzrostu liczby prób, zwykle stosuje się aproksymację rozkładu dwumianowego rozkładu normalnego lub Poissona.

Na przykład uczciwa moneta jest dwukrotnie odwracana, a sukces określa się jako zdobycie głów. Liczba prób wynosi n = 2, a prawdopodobieństwo rzucenia głową wynosi p = ½. Wyniki można podsumować w dwumianowej tabeli rozkładu: prawdopodobieństwo braku głów, P (x = 0) wynosi 25%, prawdopodobieństwo jednej głowy, P (x = 1) wynosi 50%, a prawdopodobieństwo dwóch głów P (x = 2) wynosi 25%. Oczekiwana liczba rzucanych głów wynosi np = 2 * 1/2 / 1. Wariancja wynosi np (1-p) = ½.

Inne rozkłady opisują prawdopodobieństwo zdarzeń i należą do tej samej rodziny co dwumian. Rozkład Bernouilli daje prawdopodobieństwo powodzenia pojedynczego zdarzenia i jest równoznaczny z dwumianem o n = 1. Ujemny rozkład dwumianowy daje prawdopodobieństwo wystąpienia x awarii, gdzie jako regularny dwumian daje prawdopodobieństwo x sukcesów.

Często stosuje się funkcję gęstości skumulowanej rozkładu dwumianowego, co daje prawdopodobieństwo osiągnięcia x lub mniej sukcesów w n próbach. Obliczenie tego prawdopodobieństwa jest proste dla małego n, ale staje się nudne, gdy n staje się duże, ze względu na współczynnik dwumianowy. Współczynnik dwumianowy jest odczytywany „n wybierz x” i odnosi się do liczby kombinacji, w których x wyników można wybrać spośród n możliwości. Oblicza się go za pomocą funkcji silni. Ponieważ liczba prób (n) staje się większa niż 70, n silnia staje się ogromna i nie może być dłużej obliczana na standardowym kalkulatorze.

Przybliżenie rozkładu dwumianowego, gdy n staje się duże, może być dyskretne lub ciągłe. Jeśli n jest bardzo duże, a p jest bardzo małe, to rozkład dwumianowy staje się dyskretnym rozkładem Poissona. Jeśli n jest wystarczająco duże bez żadnego ograniczenia na p, wówczas można zastosować przybliżenie dwumianowego rozkładu normalnego. Średnia dwumianowa i odchylenie standardowe stają się parametrami rozkładu normalnego, a przy obliczaniu funkcji gęstości skumulowanej stosowana jest korekta ciągłości.