Was ist eine Binomialverteilung?
Eine Binomialverteilung mit Parametern (n, p) gibt die diskrete Wahrscheinlichkeit, X -Erfolge aus N -Versuchen zu haben, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit P unter der Annahme, dass jeder Versuch unabhängig ist, und das Ergebnis eines Versuchs entweder ein Erfolg oder ein Misserfolg ist. Die durchschnittliche Anzahl der Erfolge aus N-Versuchen ist der mittlere NP, und die Varianz ist NP (1-P). Das Binomial gehört zu einer Familie von ereignisbezogenen Verteilungen, einschließlich der negativen Binomial- und der Bernouilli -Verteilung. Da die Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung unter Verwendung der faktoriellen Funktion berechnet wird, die mit zunehmender Anzahl von Versuchen sehr groß wird, wird die Binomialverteilungsnäherung einer normalen oder einer Poisson -Verteilung normalerweise verwendet. Die Anzahl der Versuche beträgt n = 2 und die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu werfen, beträgt p = ½. Die Ergebnisse können in einer Binomialverteilungstabelle zusammengefasst werden: Die Wahrscheinlichkeit, keine Köpfe zu erhalten, beträgt 25%, P (x = 0).Die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes P (x = 1) beträgt 50% und die Wahrscheinlichkeit von zwei Köpfen P (x = 2) 25%. Die erwartete Anzahl der geworfenen Köpfe beträgt NP = 2*1/2 = 1. Die Varianz ist np (1-p) = ½.
Andere Verteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen und gehören zur gleichen Familie wie das Binomial. Eine Bernouilli -Verteilung gibt die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses an und entspricht einem Binomial mit n = 1. Die negative Binomialverteilung ergibt die Wahrscheinlichkeit von X -Fehlern, wobei das reguläre Binomial die Wahrscheinlichkeit von X -Erfolgen angibt.
häufig wird die kumulative Dichtefunktion der Binomialverteilung verwendet, was die Wahrscheinlichkeit ergibt, X oder weniger Erfolge in N -Versuchen zu erzielen. Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit ist für ein kleines N einfach, wird jedoch aufgrund des Binomialkoeffizienten mühsam, wenn n groß wird. Der Binomialkoeffizient lautet "n wählen x" und bezieht sich auf die taubKombinationen, dass X -Ergebnisse aus N -Möglichkeiten ausgewählt werden können. Es wird mit der faktoriellen Funktion berechnet. Da die Anzahl der Versuche (n) größer als 70 wird, wird die n Factorial enorm und kann nicht mehr auf einem Standardrechner berechnet werden.
Die Annäherung der Binomialverteilung, wenn N groß wird, kann diskret oder kontinuierlich sein. Wenn n sehr groß und P sehr klein ist, wird die Binomialverteilung zu einer diskreten Poisson -Verteilung. Wenn N ohne Einschränkung von P ausreichend groß ist, kann die binomiale Normalverteilungsnäherung verwendet werden. Der Binomialmittel und die Standardabweichung werden zu den Parametern der Normalverteilung, und es wird eine Korrektur für die Kontinuität bei der Berechnung der kumulativen Dichtefunktion angewendet.