Was ist eine Binomialverteilung?
Eine Binomialverteilung mit Parametern (n, p) gibt die diskrete Wahrscheinlichkeit an, x Erfolge aus n Versuchen zu haben, mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p, vorausgesetzt, jeder Versuch ist unabhängig und das Ergebnis eines Versuchs ist entweder ein Erfolg oder ein Misserfolg. Die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen aus n Versuchen ist der Mittelwert von np, und die Varianz ist np (1-p). Das Binomial gehört zu einer Familie ereignisbezogener Verteilungen, einschließlich der negativen Binomial- und der Bernouilli-Verteilung. Da die Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung unter Verwendung der Fakultätsfunktion berechnet wird, die mit zunehmender Anzahl von Versuchen sehr groß wird, wird typischerweise die Annäherung der Binomialverteilung an eine Normal- oder eine Poisson-Verteilung verwendet.
Zum Beispiel wird eine faire Münze zweimal geworfen und ein Erfolg wird als Köpfe bekommen definiert. Die Anzahl der Versuche ist n = 2 und die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu werfen, ist p = 1/2. Die Ergebnisse können in einer Binomialverteilungstabelle zusammengefasst werden: Die Wahrscheinlichkeit, keine Köpfe zu bekommen, P (x = 0) beträgt 25%, die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes, P (x = 1) beträgt 50% und die Wahrscheinlichkeit von zwei Köpfen P (x = 2) beträgt 25%. Die erwartete Anzahl geworfener Köpfe beträgt np = 2 · 1/2 = 1. Die Varianz beträgt np (1-p) = 1/2.
Andere Verteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen und gehören zur selben Familie wie das Binomial. Eine Bernouilli-Verteilung gibt die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses an und entspricht einem Binom mit n = 1. Die negative Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit von x Fehlern an, wobei das reguläre Binom die Wahrscheinlichkeit von x Erfolgen angibt.
Häufig wird die kumulative Dichtefunktion der Binomialverteilung verwendet, die die Wahrscheinlichkeit angibt, in n Versuchen x oder weniger Erfolge zu erzielen. Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit ist für ein kleines n einfach, wird jedoch aufgrund des Binomialkoeffizienten mit zunehmender Größe von n mühsam. Der Binomialkoeffizient lautet „n wähle x“ und bezieht sich auf die Anzahl der Kombinationen, für die x Ergebnisse aus n Möglichkeiten ausgewählt werden können. Sie wird mit der Fakultätsfunktion berechnet. Da die Anzahl der Versuche (n) größer als 70 wird, wird n Fakultät enorm und kann nicht mehr mit einem Standardrechner berechnet werden.
Die Approximation der Binomialverteilung, wenn n groß wird, kann diskret oder kontinuierlich sein. Wenn n sehr groß und p sehr klein ist, wird die Binomialverteilung zu einer diskreten Poisson-Verteilung. Wenn n ohne Einschränkung für p ausreichend groß ist, kann die binomiale Normalverteilungsnäherung verwendet werden. Das binomiale Mittel und die Standardabweichung werden zu den Parametern der Normalverteilung, und bei der Berechnung der kumulativen Dichtefunktion wird eine Kontinuitätskorrektur angewendet.