Vad är en binomial distribution?
En binomial fördelning med parametrar (n, p) ger den diskreta sannolikheten för att ha x framgångar ur n-försök, med sannolikheten för framgång p, förutsatt att varje försök är oberoende och resultatet av ett försök är antingen en framgång eller ett misslyckande. Det genomsnittliga antalet framgångar av n-försök är det genomsnittliga np, och variansen är np (1-p). Binomialen tillhör en familj av händelsrelaterade fördelningar inklusive negativ binomial och Bernouilli-distributionen. Eftersom sannolikheten för binomialfördelning beräknas med hjälp av faktorfunktionen, som blir väldigt stor när antalet försök ökar, används typiskt binomialfördelnings approximation av en normal eller en Poisson-fördelning.
Till exempel vänds ett rättvist mynt två gånger och en framgång definieras som att få huvuden. Antalet försök är n = 2 och sannolikheten för att kasta ett huvud är p = ½. Resultaten kan sammanfattas i en binomial fördelningstabell: sannolikheten för att få inga huvuden, P (x = 0) är 25%, sannolikheten för ett huvud, P (x = 1) är 50% och sannolikheten för två huvuden P (x = 2) är 25%. Det förväntade antalet kastade huvuden är np = 2 * 1/2 = 1. Variansen är np (1-p) = ½.
Andra fördelningar beskriver sannolikheten för händelser och tillhör samma familj som binomialen. En Bernouilli-fördelning ger sannolikheten för framgång för en enstaka händelse och motsvarar en binomial med n = 1. Den negativa binomialfördelningen ger sannolikheten för att ha x-fel, där som den vanliga binomialen ger sannolikheten för x-framgångar.
Ofta används binomialfördelningens kumulativa densitetsfunktion, vilket ger sannolikheten för att ha x eller mindre framgångar i n-studier. Beräkningen av denna sannolikhet är enkel för en liten n, men blir tråkig eftersom n blir stor på grund av den binomiala koefficienten. Binomialkoefficienten läses "n välj x" och avser antalet kombinationer som x-utfall kan väljas från n möjligheter. Det beräknas med hjälp av faktorfunktionen. Eftersom antalet försök (n) blir större än 70 blir n factorial enormt och kan inte längre beräknas på en standardräknare.
Binomialfördelningens approximation när n blir stor kan vara diskret eller kontinuerlig. Om n är mycket stor och p är mycket liten, blir binomialfördelningen en diskret Poisson-distribution. Om n är tillräckligt stor utan begränsningar på p, kan den binomiala normala fördelningen användas. Binomialmedlet och standardavvikelsen blir normalfördelningens parametrar och en korrigering för kontinuitet tillämpas vid beräkning av den kumulativa densitetsfunktionen.