Qual è la teoria del controllo ottimale?
La teoria del controllo ottimale è ampiamente utilizzata nella scienza e nell'ingegneria. È una tecnica di ottimizzazione matematica comunemente utilizzata nella creazione di politiche di controllo. Lev Pontryagin, insieme alla sua squadra nell'ex Unione Sovietica, e l'americano Richard Bellman sono i principali responsabili della teoria del controllo ottimale. Lo scopo generale della teoria è quello di utilizzare vari metodi di analisi per determinare i parametri di un sistema conducendo processi di prova ed errore.
La teoria del controllo ottimale è utile quando si cerca di risolvere i problemi di ottimizzazione del tempo continuo. La teoria affronta un problema determinando una legge di controllo per un sistema ipotetico al fine di raggiungere un livello di ottimalità. Il controllo ottimale consiste in un insieme di varie equazioni, che descrivono i percorsi delle variabili che riducono al minimo il costo funzionale. Il costo funzionale è sostanzialmente una funzione delle variabili relative allo stato e al controllo. La teoria del controllo ottimale fa uso del principio massimo di Pontryagin, che generalmente afferma che si può risolvere il problema di ottimizzazione P con l'uso di una funzione hamiltoniana H per un periodo, che è una condizione necessaria. La teoria può anche essere derivata dall'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman.
Per aiutare una persona a comprendere la teoria del controllo ottimale, viene comunemente usato l'esempio "guidare la propria auto attraverso una strada collinare". Immagina di viaggiare in un'automobile su una strada sconnessa in linea retta. La teoria può determinare come si dovrebbe accelerare per ridurre al minimo il tempo di viaggio assoluto. In tal caso, il "sistema" è costituito dal veicolo e dalla strada rocciosa e i criteri di ottimalità sono quelli di raggiungere la minimizzazione del tempo di viaggio. È noto che tali problemi includono vincoli (ad esempio limitazione del carburante, limiti di velocità). Un'altra domanda potrebbe essere quella di trovare un modo per l'auto di ottimizzare il suo consumo di carburante mentre è obbligato a completare un certo percorso in un determinato limite di tempo.
Un altro esempio dell'uso della teoria del controllo ottimale è la soluzione del prezzo costato o ombra. Consiste nel valore marginale dell'espansione della variabile di stato. Risolto ciò, il valore ottimale per il controllo può formare un'equazione differenziale subordinata alla consapevolezza del costato. È comune che questa strategia risolva le regioni che descrivono il controllo ottimale e isolano i valori di scelta effettivi nel tempo.