Co jsou polární souřadnice?
Polární souřadnice jsou formou vyjádření polohy v dvourozměrné rovině. Kartézské souřadnice, také nazývané pravoúhlé souřadnice, používají k nalezení bodu vzdálenost v každé ze dvou dimenzí, ale polární souřadnice používají úhel a vzdálenost. Vzdálenost je někdy označována jako poloměr.
Obdélníkové souřadnice jsou obvykle označeny (x, y) , kde xay jsou vzdálenosti podél příslušných os. Podobným způsobem jsou polární souřadnice vyjádřeny jako (r, 9) . Písmeno r je vzdálenost od počátku v úhlu představovaném řeckým písmenem theta, 9 , kde r může být kladné nebo záporné číslo. Je-li použita záporná vzdálenost, velikost vzdálenosti se nemění, ale směr je veden naproti úhlu 9 na druhé straně počátku. Bod v polárním souřadném systému může být označen jako představující vektor, s velikostí r , směrem 9 a smyslem pro směr, což je znaménkem r .
Překlad mezi pravoúhlými a polárními souřadnicemi lze dosáhnout pomocí trigonometrických vzorců. Pro převod z pravoúhlého na polární lze použít následující vzorce: θ = tan -1 (y / x) a r = √ ( x 2 + y2 ). Pro změny z polárních na pravoúhlé lze použít tyto rovnice: x = r cos θ a y = r sin θ .
Polární souřadnice bývají používány pro každou situaci, ve které by bylo obtížné nebo nepříjemné použít pravoúhlé souřadnice, a naopak. Každá aplikace zahrnující kruhovou geometrii nebo radiální pohyb je ideálně vhodná pro polární souřadnice, protože tyto geometrie mohou být popsány pomocí relativně jednoduchých rovnic v polárním souřadném systému; jejich grafy mají křivočarší nebo kruhovější vzhled ve srovnání s grafy na pravoúhlých souřadných systémech. Výsledkem je, že polární souřadnice používají modely představující modely skutečného světa, které mají podobně zaoblené tvary.
Aplikace polárních souřadnic jsou velmi rozmanité. Polární souřadnicové grafy byly použity k modelování zvukových polí vytvářených různými umístěními reproduktorů nebo oblastí, kde různé typy mikrofonů mohou nejlépe zachytit zvuk. Polární souřadnice jsou velmi důležité pro modelování orbitálních pohybů v astronomii a kosmickém cestování. Jsou také grafickým základem slavného Eulerova vzorce, který se v matematice pravidelně používá pro reprezentaci a manipulaci s komplexními čísly.
Stejně jako jejich pravoúhlé protějšky nemusí být polární souřadnice omezeny pouze na dva rozměry. K vyjádření hodnot ve třech rozměrech lze do souřadnicového systému přidat druhý úhel reprezentovaný řeckým písmenem phi, φ . Jakýkoli bod tak může být lokalizován od počátku pevnou vzdáleností a dvěma úhly a lze mu přiřadit souřadnice (r, 9, φ) . Pokud je tento typ nomenklatury použit pro sledování a lokalizaci bodů v trojrozměrném prostoru, je souřadný systém označen jako kulový souřadný systém. Tento typ geometrie je někdy označován jako polární sférické souřadnice.
Sférické souřadnice mají ve skutečnosti dobře známou aplikaci - používají se při mapování Země. Úhel 9 je obvykle zeměpisná šířka a je omezen na mezi - 90 stupňů a 90 stupňů, zatímco úhel φ je zeměpisná délka a je udržován mezi - 180 a 180 stupni. V této aplikaci lze r někdy ignorovat, ale častěji se používá pro vyjádření nadmořské výšky.