Hva er polare koordinater?

Polare koordinater er en form for å uttrykke posisjon på et todimensjonalt plan. Kartesiske koordinater, også kalt rektangulære koordinater, bruker en avstand i hver av to dimensjoner for å lokalisere et punkt, men polare koordinater benytter seg av en vinkel og en avstand. Avstanden blir noen ganger referert til som radius.

Rektangulære koordinater er typisk betegnet (x, y) , hvor x og y er avstander langs de respektive aksene. På lignende måte blir polare koordinater uttrykt som (r, θ) . Bokstaven r er avstanden fra opprinnelsen i vinkelen som er representert av den greske bokstaven theta, θ , hvor r kan være et positivt eller negativt tall. Hvis en negativ avstand brukes, endres ikke størrelsen på avstanden, men retningen tas motsatt vinkelen θ på den andre siden av opprinnelsen. Et punkt i et polart koordinatsystem kan bli referert til som å representere en vektor, med en størrelse på r , en retning av θ og en følelse av retning, som er tegnet på r .

Oversettelse mellom rektangulære og polare koordinater kan oppnås ved bruk av trigonometriske formler. For konvertering fra rektangulær til polar kan følgende formler brukes: θ = tan ^-1 (y / x) og r = √ ( x ² + y ² ). For endringer fra polar til rektangulær kan disse ligningene brukes: x = r cos θ og y = r sin θ .

Polare koordinater har en tendens til å bli brukt i enhver situasjon der rektangulære koordinater vil være vanskelig eller vanskelig å bruke, og omvendt. Enhver applikasjon som involverer sirkulær geometri eller radiell bevegelse er ideelt egnet for polare koordinater, fordi disse geometrierene kan beskrives med relativt enkle ligninger i et polært koordinatsystem; grafene deres er mer krøllete eller sirkulære i utseende sammenlignet med diagrammene på rektangulære koordinatsystemer. Som et resultat har polare koordinater bruk som representerer modeller av virkelige fenomener med lignende avrundede former.

Bruken av polare koordinater er ganske variert. Polarkoordinatgrafer er blitt brukt til å modellere lydfeltene produsert av forskjellige høyttalerplasser eller områdene der forskjellige typer mikrofoner best kan hente lyd. Polare koordinater er av stor betydning for modellering av orbitalbevegelser innen astronomi og romfart. De er også det grafiske grunnlaget for den berømte Euler-formelen, som regelmessig brukes i matematikk for representasjon og manipulering av komplekse tall.

Som deres rektangulære kolleger, trenger ikke polare koordinater å begrenses til bare to dimensjoner. For å uttrykke verdier i tre dimensjoner, kan en andre vinkel representert av den greske bokstaven phi, φ , legges til koordinatsystemet. Ethvert punkt kan således lokaliseres fra opprinnelsen med en fast avstand og to vinkler, og det kan tilordnes koordinatene (r, θ, φ) . Når denne typen nomenklatur brukes til å spore og lokalisere punkter i tredimensjonalt rom, blir koordinatsystemet betegnet som et sfærisk koordinatsystem. Denne typen geometri blir noen ganger referert til som å bruke polære sfæriske koordinater.

Sfæriske koordinater har faktisk en kjent applikasjon - de brukes til å kartlegge jorden. Vinkelen θ er typisk breddegrad og er begrenset til mellom minus -90 grader og 90 grader, mens vinkelen φ er lengdegrad og holdes til mellom minus-180 og 180 grader. I denne applikasjonen kan r noen ganger ignoreres, men den brukes oftere for uttrykk for høyde over gjennomsnittlig havnivå.