Was sind Polarkoordinaten?
Polarkoordinaten sind eine Form des Ausdrucks der Position auf einer zweidimensionalen Ebene. Kartesische Koordinaten, auch Rechteckkoordinaten genannt, verwenden einen Abstand in jeder der beiden Dimensionen, um einen Punkt zu lokalisieren. Polarkoordinaten verwenden jedoch einen Winkel und einen Abstand. Der Abstand wird manchmal als Radius bezeichnet.
Rechteckkoordinaten werden typischerweise mit (x, y) bezeichnet , wobei x und y Abstände entlang dieser jeweiligen Achsen sind. In ähnlicher Weise werden Polarkoordinaten als (r, θ) ausgedrückt. Der Buchstabe r ist der Abstand vom Ursprung in dem Winkel, der durch den griechischen Buchstaben Theta θ dargestellt wird , wobei r eine positive oder negative Zahl sein kann. Wenn ein negativer Abstand verwendet wird, ändert sich die Größe des Abstands nicht, aber die Richtung wird entgegengesetzt zum Winkel θ auf der anderen Seite des Ursprungs genommen. Ein Punkt in einem Polarkoordinatensystem kann als Darstellung eines Vektors mit einer Größe von r , einer Richtung von θ und einem Richtungssinn bezeichnet werden, der das Vorzeichen von r ist .
Die Translation zwischen Rechteck- und Polarkoordinaten kann mithilfe von trigonometrischen Formeln erfolgen. Für die Umwandlung von rechteckig nach polar können die folgenden Formeln angewendet werden: θ = tan -1 (y / x) und r = √ ( x 2 + y 2 ). Für Änderungen von polar zu rechteckig können diese Gleichungen verwendet werden: x = rcos & thgr ; und y = rsin & thgr ; .
Polarkoordinaten werden in der Regel für alle Situationen verwendet, in denen sich die Verwendung von Rechteckkoordinaten als schwierig oder umständlich erweisen würde und umgekehrt. Jede Anwendung mit kreisförmiger Geometrie oder radialer Bewegung ist ideal für Polarkoordinaten geeignet, da diese Geometrien mit relativ einfachen Gleichungen in einem Polarkoordinatensystem beschrieben werden können. Ihre Graphen sehen krummliniger oder kreisförmiger aus als bei rechteckigen Koordinatensystemen. Infolgedessen werden Polarkoordinaten verwendet, um Modelle realer Phänomene mit ähnlich abgerundeten Formen darzustellen.
Die Anwendungen von Polarkoordinaten sind sehr unterschiedlich. Polarkoordinatendiagramme wurden verwendet, um die Schallfelder zu modellieren, die von verschiedenen Lautsprecherpositionen oder den Bereichen erzeugt werden, in denen verschiedene Mikrofontypen am besten Schall aufnehmen können. Polarkoordinaten sind für die Modellierung von Orbitalbewegungen in der Astronomie und in der Raumfahrt von großer Bedeutung. Sie sind auch die grafische Grundlage für die berühmte Euler-Formel, die in der Mathematik regelmäßig zur Darstellung und Manipulation komplexer Zahlen verwendet wird.
Wie ihre rechteckigen Gegenstücke müssen die Polarkoordinaten nicht nur auf zwei Dimensionen beschränkt sein. Um Werte in drei Dimensionen auszudrücken, kann dem Koordinatensystem ein zweiter Winkel hinzugefügt werden, der durch den griechischen Buchstaben φ dargestellt wird. Jeder Punkt kann somit um einen festen Abstand und zwei Winkel vom Ursprung entfernt liegen und ihm können die Koordinaten (r, θ, φ) zugewiesen werden. Wenn diese Art von Nomenklatur zum Verfolgen und Lokalisieren von Punkten im dreidimensionalen Raum verwendet wird, wird das Koordinatensystem als sphärisches Koordinatensystem bezeichnet. Diese Art von Geometrie wird manchmal als Verwendung von polaren Kugelkoordinaten bezeichnet.
Sphärische Koordinaten haben tatsächlich eine bekannte Anwendung - sie werden zur Kartierung der Erde verwendet. Der Winkel & thgr; ist typischerweise der Breitengrad und ist auf zwischen minus 90 Grad und 90 Grad begrenzt, wohingegen der Winkel & phgr ; der Längengrad ist und zwischen minus 180 und 180 Grad gehalten wird. In dieser Anwendung kann r manchmal ignoriert werden, wird jedoch häufiger für die Angabe der Höhe über dem mittleren Meeresspiegel verwendet.