Que sont les coordonnées polaires?
Les coordonnées polaires sont une forme d'expression de la position sur un plan bidimensionnel. Les coordonnées cartésiennes, également appelées coordonnées rectangulaires, utilisent une distance dans chacune des deux dimensions pour localiser un point, mais les coordonnées polaires utilisent un angle et une distance. La distance est parfois appelée rayon.
Les coordonnées rectangulaires sont généralement notées (x, y) , où x et y sont des distances le long de ces axes respectifs. De manière similaire, les coordonnées polaires sont exprimées sous la forme (r, θ) . La lettre r est la distance de l'origine à l'angle représenté par la lettre grecque thêta, θ , où r peut être un nombre positif ou négatif. Si une distance négative est utilisée, l'amplitude de la distance ne change pas, mais la direction est prise en regard de l'angle 0 de l'autre côté de l'origine. Un point dans un système de coordonnées polaires peut être considéré comme représentant un vecteur, avec une magnitude de r , une direction de θ et un sens de la direction, qui est le signe de r .
La traduction entre les coordonnées rectangulaires et polaires peut être réalisée à l'aide de formules trigonométriques. Pour la conversion de rectangulaire en polaire, les formules suivantes peuvent être appliquées: θ = tan -1 (y / x) et r = √ ( x 2 + y 2 ). Pour les changements de polaire à rectangulaire, ces équations peuvent être utilisées: x = r cos θ et y = r sin θ .
Les coordonnées polaires ont tendance à être utilisées pour toute situation dans laquelle les coordonnées rectangulaires s'avéreraient difficiles ou difficiles à utiliser, et vice versa. Toute application impliquant une géométrie circulaire ou un mouvement radial convient parfaitement aux coordonnées polaires, car ces géométries peuvent être décrites avec des équations relativement simples dans un système de coordonnées polaires; leurs graphiques ont un aspect plus curviligne ou circulaire que ceux des systèmes de coordonnées rectangulaires. En conséquence, les coordonnées polaires sont utilisées pour représenter des modèles de phénomènes réels ayant des formes arrondies similaires.
Les applications des coordonnées polaires sont très variées. Les graphiques de coordonnées polaires ont été utilisés pour modéliser les champs sonores produits en fonction de l’emplacement des haut-parleurs ou des zones où différents types de microphones peuvent capter le son. Les coordonnées polaires sont d’une grande importance pour la modélisation des mouvements orbitaux dans l’astronomie et les voyages dans l’espace. Ils constituent également la base graphique de la célèbre formule Euler, qui est régulièrement appliquée en mathématiques pour la représentation et la manipulation de nombres complexes.
Comme leurs homologues rectangulaires, les coordonnées polaires ne doivent pas être limitées à deux dimensions. Pour exprimer des valeurs en trois dimensions, un second angle représenté par la lettre grecque phi ,, peut être ajouté au système de coordonnées. Tout point peut donc être situé à partir de l'origine par une distance fixe et par deux angles, et les coordonnées (r, θ, φ) peuvent lui être affectées. Lorsque ce type de nomenclature est utilisé pour suivre et localiser des points dans un espace tridimensionnel, le système de coordonnées est désigné comme un système de coordonnées sphérique. Ce type de géométrie est parfois appelé utilisation de coordonnées sphériques polaires.
Les coordonnées sphériques ont en réalité une application bien connue: elles servent à cartographier la Terre. L'angle θ est typiquement la latitude et est limité entre moins 90 degrés et 90 degrés, tandis que l'angle φ correspond à la longitude et est maintenu entre moins 180 et 180 degrés. Dans cette application, r peut parfois être ignoré, mais il est plus souvent utilisé pour l'expression de l'altitude au-dessus du niveau moyen de la mer.