Vad är polära koordinater?
Polära koordinater är en form för att uttrycka position på ett tvådimensionellt plan. Kartesiska koordinater, även kallade rektangulära koordinater, använder ett avstånd i var och en av två dimensioner för att lokalisera en punkt, men polära koordinater använder en vinkel och ett avstånd. Avståndet kallas ibland radien.
Rektangulära koordinater betecknas vanligtvis (x, y) , där x och y är avstånd längs de respektive axlarna. På liknande sätt uttrycks polära koordinater som (r, θ) . Bokstaven r är avståndet från ursprunget i den vinkel som representeras av den grekiska bokstaven theta, θ , där r kan vara ett positivt eller negativt tal. Om ett negativt avstånd används förändras inte storleken på avståndet, men riktningen tas motsatt vinkeln θ på andra sidan av ursprunget. En punkt i ett polärt koordinatsystem kan hänvisas till som att representera en vektor med en magnitude av r , en riktning av θ och en känsla av riktning, vilket är tecknet på r .
Översättning mellan rektangulära och polära koordinater kan åstadkommas genom användning av trigonometriska formler. För omvandling från rektangulär till polär kan följande formler tillämpas: θ = solbränna -1 (y / x) och r = √ ( x 2 + y2 ). För ändringar från polär till rektangulär kan dessa ekvationer användas: x = r cos θ och y = r sin θ .
Polära koordinater brukar användas för alla situationer där rektangulära koordinater skulle vara svåra eller besvärliga att använda och vice versa. Varje applikation som involverar cirkulär geometri eller radiell rörelse är idealiskt lämpad för polära koordinater, eftersom dessa geometrier kan beskrivas med relativt enkla ekvationer i ett polärt koordinatsystem; deras diagram är mer krökta eller cirkulära i utseende jämfört med de på rektangulära koordinatsystem. Som ett resultat har polära koordinater användning som representerar modeller av verkliga fenomen som har liknande rundade former.
Användningen av polära koordinater är ganska varierande. Polära koordinatgrafer har använts för att modellera ljudfält som produceras av olika högtalarplatser eller områden där olika typer av mikrofoner bäst kan ta fram ljud. Polära koordinater är av stor vikt vid modellering av orbitalrörelser i astronomi och rymdresor. De är också den grafiska grunden för den berömda Euler-formeln, som regelbundet används i matematik för representation och manipulation av komplexa tal.
Liksom deras rektangulära motsvarigheter behöver polära koordinater inte begränsas till endast två dimensioner. För att uttrycka värden i tre dimensioner kan en andra vinkel representerad av den grekiska bokstaven phi, φ , läggas till koordinatsystemet. Varje punkt kan således placeras från ursprunget med ett fast avstånd och två vinklar, och det kan tilldelas koordinaterna (r, θ, φ) . När denna typ av nomenklatur används för att spåra och lokalisera punkter i tredimensionellt utrymme betecknas koordinatsystemet som ett sfäriskt koordinatsystem. Denna typ av geometri kallas ibland med polära sfäriska koordinater.
Sfäriska koordinater har faktiskt en välkänd applikation - de används för att kartlägga jorden. Vinkeln θ är typiskt latitud och är begränsad till mellan minus 90 grader och 90 grader, medan vinkeln φ är longitud och hålls mellan minus 180 och 180 grader. I denna applikation kan r ibland ignoreras, men det används ofta för uttryck av höjd över medelhöjden.