Cosa sono le coordinate polari?
Le coordinate polari sono una forma di espressione della posizione su un piano bidimensionale. Le coordinate cartesiane, chiamate anche coordinate rettangolari, utilizzano una distanza in ciascuna delle due dimensioni per individuare un punto, ma le coordinate polari fanno uso di un angolo e di una distanza. La distanza viene talvolta definita raggio.
Le coordinate rettangolari sono in genere indicate (x, y) , dove xey sono distanze lungo i rispettivi assi. In modo simile, le coordinate polari sono espresse come (r, θ) . La lettera r è la distanza dall'origine nell'angolo rappresentato dalla lettera greca theta, θ , dove r può essere un numero positivo o negativo. Se viene utilizzata una distanza negativa, l'entità della distanza non cambia, ma la direzione viene presa di fronte all'angolo θ sull'altro lato dell'origine. Un punto in un sistema di coordinate polari può essere indicato come rappresentante un vettore, con una magnitudine di r , una direzione di θ e un senso della direzione, che è il segno di r .
La traduzione tra coordinate rettangolari e polari può essere realizzata mediante l'uso di formule trigonometriche. Per la conversione da rettangolare a polare, è possibile applicare le seguenti formule: θ = abbronzatura -1 (y / x) e r = √ ( x 2 + y 2 ). Per i cambiamenti da polare a rettangolare, è possibile utilizzare queste equazioni: x = r cos θ e y = r sin θ .
Le coordinate polari tendono ad essere utilizzate per qualsiasi situazione in cui le coordinate rettangolari si rivelerebbero difficili o scomode da utilizzare, e viceversa. Qualsiasi applicazione che coinvolge geometria circolare o movimento radiale è ideale per coordinate polari, poiché queste geometrie possono essere descritte con equazioni relativamente semplici in un sistema di coordinate polari; i loro grafici hanno un aspetto più curvilineo o circolare rispetto a quelli dei sistemi di coordinate rettangolari. Di conseguenza, le coordinate polari sono utilizzate per rappresentare modelli di fenomeni del mondo reale che hanno forme arrotondate in modo simile.
Le applicazioni delle coordinate polari sono piuttosto varie. I grafici delle coordinate polari sono stati usati per modellare i campi sonori prodotti dalle diverse posizioni degli altoparlanti o le aree in cui i diversi tipi di microfoni possono captare meglio il suono. Le coordinate polari sono di grande importanza modellando i movimenti orbitali in astronomia e viaggi nello spazio. Sono anche la base grafica della famosa formula di Eulero, che viene regolarmente applicata in matematica per la rappresentazione e la manipolazione di numeri complessi.
Come le loro controparti rettangolari, le coordinate polari non devono essere limitate a sole due dimensioni. Per esprimere valori in tre dimensioni, un secondo angolo rappresentato dalla lettera greca phi, φ , può essere aggiunto al sistema di coordinate. Qualsiasi punto può quindi essere localizzato dall'origine con una distanza fissa e due angoli, e possono essere assegnate le coordinate (r, θ, φ) . Quando questo tipo di nomenclatura viene utilizzato per tracciare e localizzare punti nello spazio tridimensionale, il sistema di coordinate viene designato come sistema di coordinate sferiche. Questo tipo di geometria viene talvolta definito come l'utilizzo di coordinate sferiche polari.
Le coordinate sferiche hanno in realtà un'applicazione ben nota: vengono utilizzate per mappare la Terra. L'angolo typically è in genere la latitudine ed è limitato tra meno-90 gradi e 90 gradi, mentre l'angolo φ è longitudine e viene mantenuto tra meno-180 e 180 gradi. In questa applicazione, a volte può essere ignorato, ma è più spesso impiegato per l'espressione dell'altitudine sopra il livello medio del mare.