Hvad er polære koordinater?

Polære koordinater er en form for at udtrykke position på et todimensionalt plan. Kartesiske koordinater, også kaldet rektangulære koordinater, bruger en afstand i hver af to dimensioner til at lokalisere et punkt, men polære koordinater bruger en vinkel og en afstand. Afstanden kaldes undertiden radius.

Rektangulære koordinater er typisk betegnet (x, y) , hvor x og y er afstande langs de respektive akser. På en lignende måde udtrykkes polære koordinater som (r, θ) . Bogstavet r er afstanden fra oprindelsen i den vinkel, der er repræsenteret af det græske bogstav theta, θ , hvor r kan være et positivt eller negativt tal. Hvis der bruges en negativ afstand, ændres afstandens størrelse ikke, men retningen tages modsat vinklen θ på den anden side af originalen. Et punkt i et polært koordinatsystem kan henvises til at repræsentere en vektor med en størrelse på r , en retning af θ og en følelse af retning, hvilket er tegnet på r .

Oversættelse mellem rektangulære og polære koordinater kan udføres ved hjælp af trigonometriske formler. For konvertering fra rektangulær til polær kan følgende formler anvendes: θ = tan ^-1 (y / x) og r = √ ( x ² + y ² ). Ved ændringer fra polær til rektangulær kan disse ligninger anvendes: x = r cos θ og y = r sin θ .

Polære koordinater er en tendens til at blive brugt til enhver situation, hvor rektangulære koordinater ville vise sig vanskelige eller akavede at bruge, og vice versa. Enhver anvendelse, der involverer cirkulær geometri eller radial bevægelse, er ideelt egnet til polære koordinater, fordi disse geometrier kan beskrives med relativt enkle ligninger i et polært koordinatsystem; deres grafer er mere krøllede eller cirkulære i udseende sammenlignet med dem på rektangulære koordinatsystemer. Som et resultat har polære koordinater anvendelse, der repræsenterer modeller af fænomener i den virkelige verden, der har lignende afrundede former.

Anvendelsen af ​​polære koordinater er ret varierende. Polære koordinatgrafer er blevet brugt til at modellere lydfelterne produceret ved forskellige højttalerplaceringer eller de områder, hvor forskellige typer mikrofoner bedst kan hente lyd. Polære koordinater er af stor betydning ved modellering af orbitalbevægelser inden for astronomi og rumrejse. De er også det grafiske grundlag for den berømte Euler-formel, der regelmæssigt anvendes i matematik til repræsentation og manipulation af komplekse tal.

Som deres rektangulære modstykker behøver polære koordinater ikke kun at være begrænset til to dimensioner. For at udtrykke værdier i tre dimensioner kan en anden vinkel, der er repræsenteret med det græske bogstav phi, φ , føjes til koordinatsystemet. Ethvert punkt kan således placeres fra oprindelsen med en fast afstand og to vinkler, og det kan tildeles koordinaterne (r, θ, φ) . Når denne type nomenklatur bruges til at spore og lokalisere punkter i tredimensionelt rum, betegnes koordinatsystemet som et sfærisk koordinatsystem. Denne type geometri omtales undertiden ved hjælp af polære sfæriske koordinater.

Sfæriske koordinater har faktisk en velkendt anvendelse - de bruges til kortlægning af Jorden. Vinklen θ er typisk breddegrad og er begrænset til mellem minus -90 grader og 90 grader, hvorimod vinklen φ er længdegrad og holdes til mellem minus-180 og 180 grader. I denne applikation kan r undertiden ignoreres, men det anvendes oftere til udtryk for højde over middelhavet.