Jakie są współrzędne biegunowe?
Współrzędne biegunowe są formą wyrażania pozycji na płaszczyźnie dwuwymiarowej. Współrzędne kartezjańskie, zwane także współrzędnymi prostokątnymi, wykorzystują odległość w każdym z dwóch wymiarów do zlokalizowania punktu, ale współrzędne biegunowe wykorzystują kąt i odległość. Odległość jest czasami określana jako promień.
Współrzędne prostokątne zazwyczaj są oznaczone (x, y) , gdzie xiy są odległościami wzdłuż tych odpowiednich osi. W podobny sposób współrzędne biegunowe są wyrażone jako (r, θ) . Litera r to odległość od początku pod kątem reprezentowanym przez grecką literę theta, θ , gdzie r może być liczbą dodatnią lub ujemną. Jeśli zastosowana jest odległość ujemna, wielkość odległości nie zmienia się, ale kierunek jest przyjmowany przeciwnie do kąta θ po drugiej stronie początku. Punkt w układzie współrzędnych biegunowych można nazwać reprezentującym wektor o wielkości r , kierunku θ i kierunku, który jest znakiem r .
Przesunięcie między współrzędnymi prostokątnymi i biegunowymi można uzyskać za pomocą wzorów trygonometrycznych. Do konwersji z prostokąta na biegunowy można zastosować następujące wzory: θ = tan -1 (y / x) i r = √ ( x 2 + y 2 ). W przypadku zmian z biegunowego na prostokątne można zastosować te równania: x = r cos θ i y = r sin θ .
Współrzędne biegunowe są zwykle używane w każdej sytuacji, w której współrzędne prostokątne okazałyby się trudne lub niewygodne w użyciu i odwrotnie. Każde zastosowanie obejmujące geometrię kołową lub ruch promieniowy idealnie nadaje się do współrzędnych biegunowych, ponieważ geometrie te można opisać za pomocą stosunkowo prostych równań w układzie współrzędnych biegunowych; ich wykresy mają bardziej krzywoliniowy lub kołowy wygląd w porównaniu do wykresów na prostokątnych układach współrzędnych. W rezultacie współrzędne biegunowe mają zastosowanie do reprezentowania modeli zjawisk w świecie rzeczywistym, które mają podobnie zaokrąglone kształty.
Zastosowania współrzędnych biegunowych są dość zróżnicowane. Wykresy współrzędnych biegunowych zostały wykorzystane do modelowania pól dźwiękowych wytwarzanych przez różne lokalizacje głośników lub obszary, w których różne typy mikrofonów mogą najlepiej odbierać dźwięk. Współrzędne biegunowe mają ogromne znaczenie w modelowaniu ruchów orbitalnych w astronomii i podróżach kosmicznych. Stanowią także podstawę graficzną słynnej formuły Eulera, która jest regularnie stosowana w matematyce do reprezentacji i manipulowania liczbami zespolonymi.
Podobnie jak ich prostokątne odpowiedniki, współrzędne biegunowe nie muszą być ograniczone tylko do dwóch wymiarów. Aby wyrazić wartości w trzech wymiarach, do układu współrzędnych można dodać drugi kąt reprezentowany grecką literą phi, φ . Dowolny punkt może być w ten sposób zlokalizowany od początku o ustaloną odległość i dwa kąty, i można mu przypisać współrzędne (r, θ, φ) . Gdy ten rodzaj nazewnictwa jest wykorzystywany do śledzenia i lokalizacji punktów w przestrzeni trójwymiarowej, układ współrzędnych jest oznaczany jako sferyczny układ współrzędnych. Ten typ geometrii jest czasem określany jako użycie biegunowych współrzędnych sferycznych.
Współrzędne sferyczne mają właściwie dobrze znaną aplikację - są używane do mapowania Ziemi. Kąt θ jest zazwyczaj szerokością geograficzną i jest ograniczony do zakresu od minus-90 stopni do 90 stopni, podczas gdy kąt φ jest długością geograficzną i jest utrzymywany między minus-180 a 180 stopni. W tej aplikacji r można czasem zignorować, ale częściej stosuje się ją do wyrażania wysokości nad średnim poziomem morza.