Wat zijn poolcoördinaten?
Polaire coördinaten zijn een vorm van positiebepaling op een tweedimensionaal vlak. Cartesiaanse coördinaten, ook wel rechthoekige coördinaten genoemd, gebruiken een afstand in elk van twee dimensies om een punt te lokaliseren, maar polaire coördinaten maken gebruik van een hoek en een afstand. De afstand wordt soms de straal genoemd.
Rechthoekige coördinaten worden typisch aangegeven (x, y) , waarbij x en y afstanden langs die respectieve assen zijn. Op vergelijkbare wijze worden poolcoördinaten uitgedrukt als (r, θ) . De letter r is de afstand vanaf de oorsprong in de hoek die wordt voorgesteld door de Griekse letter theta, θ , waarbij r een positief of negatief getal kan zijn. Als een negatieve afstand wordt gebruikt, verandert de grootte van de afstand niet, maar wordt de richting genomen tegenover de hoek θ aan de andere kant van de oorsprong. Een punt in een poolcoördinatenstelsel kan worden aangeduid als een vector, met een grootte van r , een richting van θ en een richtinggevoel, wat het teken van r is .
Translatie tussen rechthoekige en polaire coördinaten kan worden bereikt door het gebruik van trigonometrische formules. Voor de conversie van rechthoekig naar polair kunnen de volgende formules worden toegepast: θ = tan -1 (y / x) en r = √ ( x 2 + y 2 ). Voor veranderingen van polair naar rechthoekig kunnen deze vergelijkingen worden gebruikt: x = r cos θ en y = r sin θ .
Polaire coördinaten worden meestal gebruikt voor elke situatie waarin rechthoekige coördinaten moeilijk of onhandig blijken te zijn en vice versa. Elke toepassing met cirkelvormige geometrie of radiale beweging is bij uitstek geschikt voor poolcoördinaten, omdat deze geometrieën kunnen worden beschreven met relatief eenvoudige vergelijkingen in een poolcoördinatenstelsel; hun grafieken zien er meer kromlijnig of cirkelvormig uit dan die op rechthoekige coördinatenstelsels. Dientengevolge hebben poolcoördinaten het gebruik van modellen van reële fenomenen met vergelijkbare afgeronde vormen.
De toepassingen van poolcoördinaten zijn nogal gevarieerd. Polaire coördinaatgrafieken zijn gebruikt om de geluidsvelden te modelleren die worden geproduceerd door verschillende luidsprekerlocaties of de gebieden waar verschillende soorten microfoons het beste geluid kunnen opnemen. Polaire coördinaten zijn van groot belang voor het modelleren van orbitale bewegingen in astronomie en ruimtevaart. Ze vormen ook de grafische basis voor de beroemde Euler-formule, die regelmatig wordt toegepast in de wiskunde voor de weergave en manipulatie van complexe getallen.
Net als hun rechthoekige tegenhangers hoeven poolcoördinaten niet beperkt te zijn tot slechts twee dimensies. Om waarden in drie dimensies uit te drukken, kan een tweede hoek, vertegenwoordigd door de Griekse letter phi, φ , aan het coördinatensysteem worden toegevoegd. Elk punt kan dus op een vaste afstand en twee hoeken van de oorsprong worden geplaatst en aan de coördinaten (r, θ, φ) worden toegewezen. Wanneer dit type nomenclatuur wordt gebruikt voor het volgen en lokaliseren van punten in driedimensionale ruimte, wordt het coördinatenstelsel aangeduid als een sferisch coördinatenstelsel. Dit type geometrie wordt soms aangeduid als polaire sferische coördinaten gebruiken.
Sferische coördinaten hebben eigenlijk een bekende toepassing - ze worden gebruikt bij het in kaart brengen van de aarde. De hoek θ is typisch de breedtegraad en is beperkt tot tussen min-90 graden en 90 graden, terwijl de hoek φ lengte is en tussen min-180 en 180 graden wordt gehouden. In deze toepassing kan r soms worden genegeerd, maar het wordt vaker gebruikt voor de uitdrukking van hoogte boven gemiddeld zeeniveau.