Co je determinant?

matice jsou matematické objekty, které transformují tvary. Determinant čtvercové matice A, označený | a |, je číslo, které shrnuje účinek A má na velikost a orientaci čísla. Pokud je [ a b ] vektor horního řádku pro a [ c d ] vektor spodního řádku, pak | a | = ad-bc .

Determinant kóduje užitečné informace o tom, jak matice transformuje regiony. Absolutní hodnota determinantu označuje faktor měřítka matice, kolik se táhne nebo zmenšuje postavu. Jeho znaménko popisuje, zda se matice převrátí, a přináší zrcadlový obraz. Matice mohou také zkreslit oblasti a otočit je, ale tato informace není poskytována determinantem.

Aritmeticky je transformační účinek matice určován násobení matice. Pokud je a je matice 2 × 2 s horním řádkem [ a b ] a spodním řádkem [ c d ], pak [1 0] * a = [ a b ] a [0 1] * a = [ c dd ]. To znamená, že A zaujme bod (1,0) to bod ( a, b ) a bod (0,1) k bodu ( c, d ). Všechny matice opouštějí původ nepohybný, takže člověk vidí, že transformuje trojúhelník s koncovými body na (0,0), (0,1) a (1,0) do jiného trojúhelníku s koncovými body při (0,0), ( a, b ) a ( c, d ). Poměr oblasti tohoto nového trojúhelníku k původnímu trojúhelníku se rovná | ad-bc |, absolutní hodnotě | a |.

Znamení determinantu matice popisuje, zda matice převrátí tvar. S ohledem na trojúhelník s koncovými body na (0,0), (0,1) a (1,0), pokud matice A udržuje bod (0,1) stacionární, zatímco a převzal bod (-1,0), pak převrátil | a | a | a | a | a | a | a | a | a | bude negativní. Matice nemění velikost oblasti, takže | A | musí být -1, aby byl v souladu s pravidlem, že absolutní hodnota | A | depíše, jak moc se natahuje postava.

Maticová aritmetika sleduje asociativní zákon, což znamená, že ( v *a)*b = v *(a*b). Geometricky to znamená, že kombinovaná působení první transformace tvaru s matricí A a poté transformace tvaru maticí B je ekvivalentní transformaci původního tvaru s produktem (A*B). Z tohoto pozorování lze odvodit, že | a |*| B | = | A*b |.

Rovnice | a | * | B | = | A*b | má důležitý důsledek, když | a | = 0. V tomto případě nelze působení A? = 1. Od | a | * | B | = | A * b |, toto poslední pozorování vede k nemožné rovnici 0 * | B | = 1.

Příkaz konverzace lze také ukázat: pokud A je čtvercová matice s nenulovými determinanty, pak A má inverzní . Geometricky je to akce jakékoli matice, která se nesrovnává akraj. Například, když šplháním čtverce do segmentu čáry může být vrácena jinou maticí, nazývaná jeho inverzní. Takový inverzní je maticový analog vzájemného.