Co je determinant?

Matice jsou matematické objekty, které transformují tvary. Determinant čtvercové matice A, označený | A |, je číslo, které shrnuje vliv A na velikost a orientaci postavy. Pokud [ ab ] je vektor horního řádku pro A a [ cd ] je jeho vektor ve spodním řádku, pak | A | = ad-bc .

Determinant kóduje užitečné informace o tom, jak matice transformuje oblasti. Absolutní hodnota determinantu označuje faktor měřítka matice, jak moc se roztahuje nebo zmenšuje číslo. Její znamení popisuje, zda se matice převrátí, čímž se získá zrcadlový obraz. Matice mohou také zkosit oblasti a otáčet je, ale tato informace není determinantem poskytována.

Aritmeticky je transformační působení matice určeno násobením matice. Pokud A je matice 2 × 2 s horním řádkem [ ab ] a spodním řádkem [ cd ], pak [1 0] * A = [ ab ] a [0 1] * A = [ cd ]. To znamená, že A vede bod (1,0) k bodu ( a, b ) a bod (0,1) k bodu ( c, d ). Všechny matice ponechávají původ nepohyblivý, takže je vidět, že A transformuje trojúhelník s koncovými body na (0,0), (0,1) a (1,0) na jiný trojúhelník s koncovými body na (0,0), ( a , b ) a ( c, d ). Poměr plochy tohoto nového trojúhelníku k původnímu trojúhelníku je roven | ad-bc |, absolutní hodnota | A |.

Znak determinantu matice popisuje, zda matice převrátí tvar. Pokud vezmeme v úvahu trojúhelník s koncovými body na (0,0), (0,1) a (1,0), pokud matice A udržuje bod (0,1) nehybný, zatímco bod (1,0) vede k bodu (-1,0), pak převrátil trojúhelník přes čáru x = 0. Protože A převrátil obrázek nad, | A | bude negativní. Matice nemění velikost oblasti, takže | A | musí být -1, aby bylo v souladu s pravidlem, že absolutní hodnota | A | popisuje, jak moc A napíná postavu.

Maticová aritmetika se řídí asociativním zákonem, což znamená, že ( v * A) * B = v * (A * B). Geometricky to znamená, že kombinovaná akce první transformace tvaru s maticí A a poté transformace tvaru s maticí B je ekvivalentní k transformaci původního tvaru produktem (A * B). Z tohoto pozorování lze odvodit, že | A | * | B | = | A * B |.

Rovnice | A | * | B | = | A * B | má důležitý důsledek, když | A | = 0. V takovém případě nemůže být činnost A vrácena jinou maticí B. To lze odvodit tím, že pokud A a B byly inverzní, pak (A * B) ani natáhne ani nepřevrátí žádnou oblast, takže | A * B | = 1. Od | A | * | B | = | A * B |, toto poslední pozorování vede k nemožné rovnici 0 * | B | = 1.

Může být také ukázáno obrácené tvrzení: pokud A je čtvercová matice s nenulovým determinantem, pak A má inverzní . Geometricky se jedná o akci jakékoli matrice, která neaplikuje region. Například přisunutí čtverce na úsečku může být zrušeno jinou maticí, která se nazývá inverzní. Taková inverze je maticový analog reciproční.