Was ist eine Determinante?
Matrizen sind mathematische Objekte, die Formen transformieren. Die Determinante einer quadratischen Matrix A, die | a | bezeichnet wird, ist eine Zahl, die den Effekt A auf die Größe und Ausrichtung einer Figur zusammenfasst. Wenn [ a b ] der obere Zeilenvektor für A und [ c d ] ist sein unterer Zeilevektor, dann | A | = ad-bc .
Eine Determinante codiert nützliche Informationen darüber, wie eine Matrix Regionen verwandelt. Der absolute Wert der Determinante zeigt den Skalierungsfaktor der Matrix an, wie viel er eine Figur erstreckt oder schrumpft. Sein Vorzeichen beschreibt, ob die Matrix -Figuren umgeht und ein Spiegelbild ergibt. Matrizen können auch Regionen verzerren und sie drehen, diese Informationen werden jedoch nicht von der Determinanten bereitgestellt.
arithmetisch wird die transformierende Wirkung einer Matrix durch Matrixmultiplikation bestimmt. Wenn a eine 2 × 2 -Matrix mit oberer Zeile [ a b ] und unterer Zeile [ c d ] ist, dann [1 0] * a = [ a b ] und [0 1] * a = [ c d ]. Dies bedeutet, dass A den Punkt (1,0) t nimmto Der Punkt ( a, b ) und der Punkt (0,1) zum Punkt ( c, d ). Alle Matrizen lassen den Ursprung unberührt, so dass man sieht, dass ein Dreieck mit Endpunkten bei (0,0), (0,1) und (1,0) in ein anderes Dreieck mit Endpunkten bei (0,0), ( a, b ) und ( c, d ) umgewandelt wird. Das Verhältnis dieses neuen Dreiecks zu den ursprünglichen Dreiecks ist gleich | ad-bc |, der absolute Wert von | a |.
Das Vorzeichen der Determinante einer Matrix beschreibt, ob die Matrix eine Form umdreht. In Anbetracht des Dreiecks mit Endpunkten bei (0,0), (0,1) und (1,0), wenn eine Matrix A den Punkt (0,1) stationiert, während der Punkt (1,0) auf den Punkt (-1,0) hält, hat es das Dreieck über die Zeile x
Matrixarithmetik folgt dem assoziativen Gesetz, was bedeutet, dass ( v *a)*b = v *(a*b). Geometrisch bedeutet dies, dass die kombinierte Wirkung einer Form mit der Matrix A zuerst die Form der Form mit Matrix B mit der Originalform mit dem Produkt (a*b) äquivalent ist. Man kann aus dieser Beobachtung abgeben, dass | a |*| b | = | A*b |.
Die Gleichung | a | * | B | = | A*b | hat eine wichtige Konsequenz, wenn | a | = 0. In diesem Fall kann die Wirkung von A nicht durch eine andere Matrix B rückgängig gemacht werden. Dies kann abgeleitet werden, indem festgestellt werden kann, dass (A*B), wenn a und b um Inversen wären, (a*b) einen Region weder erstreckt noch umdreht, also | a*b | = 1. da | a | * | B | = | A * b | führt diese letzte Beobachtung zur unmöglichen Gleichung 0 * | B | = 1.
Die Converse -Behauptung kann auch gezeigt werden: Wenn a eine quadratische Matrix mit ungleich Null -Determinante ist, hat A ein inverse . Geometrisch ist dies die Wirkung einer Matrix, die a nicht flach aRegion. Zum Beispiel kann das Quetschen eines Quadrats in ein Liniensegment durch eine andere Matrix, die als inverse bezeichnet wird, rückgängig gemacht werden. Ein solches Inverse ist das Matrixanalog eines Wechselsatzes.