Was ist eine Determinante?
Matrizen sind mathematische Objekte, die Formen transformieren. Die Determinante einer quadratischen Matrix A, die mit | A | bezeichnet ist, ist eine Zahl, die die Auswirkung von A auf die Größe und Ausrichtung einer Figur zusammenfasst. Wenn [ ab ] der Vektor der obersten Zeile für A und [ cd ] der Vektor der untersten Zeile ist, dann ist | A | = ad-bc .
Eine Determinante kodiert nützliche Informationen darüber, wie eine Matrix Regionen transformiert. Der absolute Wert der Determinante gibt den Skalierungsfaktor der Matrix an, um wie viel sie eine Zahl streckt oder schrumpft. Das Vorzeichen beschreibt, ob die Matrix die Figuren umdreht und ein Spiegelbild ergibt. Matrizen können auch Regionen verzerren und drehen, diese Informationen werden jedoch nicht von der Determinante bereitgestellt.
Arithmetisch wird die Transformationswirkung einer Matrix durch Matrixmultiplikation bestimmt. Wenn A eine 2 × 2-Matrix mit oberer Reihe [ ab ] und unterer Reihe [ cd ] ist, dann ist [1 0] * A = [ ab ] und [0 1] * A = [ cd ]. Dies bedeutet, dass A den Punkt (1,0) zum Punkt ( a, b ) und den Punkt (0,1) zum Punkt ( c, d ) nimmt. Alle Matrizen lassen den Ursprung unbewegt, sodass man sieht, dass A das Dreieck mit Endpunkten bei (0,0), (0,1) und (1,0) in ein anderes Dreieck mit Endpunkten bei (0,0), ( a ) transformiert , b ) und ( c, d ). Das Verhältnis der Fläche dieses neuen Dreiecks zur Fläche des ursprünglichen Dreiecks ist gleich | ad-bc |, der absolute Wert von | A |.
Das Vorzeichen der Determinante einer Matrix beschreibt, ob die Matrix eine Form umdreht. Betrachtet man das Dreieck mit den Endpunkten (0,0), (0,1) und (1,0), wenn eine Matrix A den Punkt (0,1) stationär hält, während der Punkt (1,0) zum Punkt gebracht wird (-1,0), dann hat es das Dreieck über die Linie x = 0 gekippt. Da A die Figur umgedreht hat, | A | wird negativ sein. Die Matrix ändert nicht die Größe einer Region, also | A | muss -1 sein, um mit der Regel übereinzustimmen, dass der Absolutwert von | A | beschreibt, um wie viel A eine Figur streckt.
Die Matrixarithmetik folgt dem Assoziativgesetz, dh ( v * A) * B = v * (A * B). Geometrisch bedeutet dies, dass eine kombinierte Aktion, bei der zuerst eine Form mit der Matrix A und dann die Form mit der Matrix B transformiert wird, der Transformation der ursprünglichen Form mit dem Produkt (A * B) entspricht. Man kann aus dieser Beobachtung ableiten, dass | A | * | B | = | A * B |.
Die Gleichung | A | * | B | = | A * B | hat eine wichtige Konsequenz, wenn | A | = 0. In diesem Fall kann die Aktion von A nicht durch eine andere Matrix B rückgängig gemacht werden. Dies lässt sich durch die Feststellung ableiten, dass (A * B), wenn A und B invers wären, keine Region streckt oder spiegelt, also | A * B | = 1. Seit | A | * | B | = | A * B |, diese letzte Beobachtung führt zu der unmöglichen Gleichung 0 * | B | = 1.
Die umgekehrte Behauptung kann auch gezeigt werden: Wenn A eine quadratische Matrix mit einer Determinante ungleich Null ist, dann hat A eine Inverse . Geometrisch ist dies die Aktion einer Matrix, die eine Region nicht abflacht. Beispielsweise kann das Zerquetschen eines Quadrats in ein Liniensegment durch eine andere Matrix rückgängig gemacht werden, die als ihre Inverse bezeichnet wird. Eine solche Inverse ist das Matrixanalog eines Reziproken.