Che cos'è un determinante?
Le matrici sono oggetti matematici che trasformano le forme. Il determinante di una matrice quadrata A, indicato con | A |, è un numero che riassume l'effetto che A ha sulla dimensione e sull'orientamento di una figura. Se [ ab ] è il vettore della riga superiore per A e [ cd ] è il vettore della riga inferiore, quindi | A | = ad-bc .
Un determinante codifica informazioni utili su come una matrice trasforma le regioni. Il valore assoluto del determinante indica il fattore di scala della matrice, quanto allunga o restringe una figura. Il suo segno descrive se la matrice si capovolge, producendo un'immagine speculare. Le matrici possono anche inclinare le regioni e ruotarle, ma queste informazioni non sono fornite dal determinante.
Aritmeticamente, l'azione trasformante di una matrice è determinata dalla moltiplicazione della matrice. Se A è una matrice 2 × 2 con la riga superiore [ ab ] e la riga inferiore [ cd ], quindi [1 0] * A = [ ab ] e [0 1] * A = [ cd ]. Ciò significa che A prende il punto (1,0) fino al punto ( a, b ) e il punto (0,1) al punto ( c, d ). Tutte le matrici lasciano l'origine non modificata, quindi si vede che A trasforma il triangolo con punti finali a (0,0), (0,1) e (1,0) in un altro triangolo con punti finali a (0,0), ( a , b ) e ( c, d ). Il rapporto tra l'area del nuovo triangolo e quella del triangolo originale è uguale a | ad-bc |, il valore assoluto di | A |.
Il segno del determinante di una matrice descrive se la matrice capovolge una forma. Considerando il triangolo con punti finali a (0,0), (0,1) e (1,0), se una matrice A mantiene fermo il punto (0,1) tenendo il punto (1,0) sul punto (-1,0), quindi ha capovolto il triangolo sulla linea x = 0. Poiché A ha capovolto la figura, | A | sarà negativo. La matrice non cambia la dimensione di una regione, quindi | A | deve essere -1 per essere coerente con la regola che il valore assoluto di | A | descrive quanto A allunga una figura.
L'aritmetica della matrice segue la legge associativa, nel senso che ( v * A) * B = v * (A * B). Dal punto di vista geometrico, ciò significa che l'azione combinata di trasformare prima una forma con matrice A e quindi trasformare la forma con matrice B equivale a trasformare la forma originale con il prodotto (A * B). Da questa osservazione si può dedurre che | A | * | B | = | A * B |.
L'equazione | A | * | B | = | A * B | ha una conseguenza importante quando | A | = 0. In tal caso, l'azione di A non può essere annullata da un'altra matrice B. Ciò può essere dedotto osservando che se A e B fossero inverse, allora (A * B) non allunga né capovolge alcuna regione, quindi | A * B | = 1. Dal | A | * | B | = | A * B |, quest'ultima osservazione porta all'equazione impossibile 0 * | B | = 1
L'affermazione inversa può anche essere mostrata: se A è una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora A ha un inverso . Geometricamente, questa è l'azione di qualsiasi matrice che non appiattisce una regione. Ad esempio, schiacciare un quadrato in un segmento di linea può essere annullato da un'altra matrice, chiamata il suo inverso. Tale inverso è l'analogo della matrice di un reciproco.