Cos'è un determinante?
Le matrici sono oggetti matematici che trasformano le forme. Il determinante di una matrice quadrata A, indicata | a |, è un numero che riassume l'effetto che ha sulla dimensione e sull'orientamento di una figura. Se [ a b ] è il vettore di riga superiore per a e [ c d ] è il suo vettore di riga inferiore, allora | a | = Ad-BC .
Un determinante codifica informazioni utili su come una matrice trasforma le regioni. Il valore assoluto del fattore determinante indica il fattore di scala della matrice, quanto si estende o riduce una figura. Il suo segno descrive se la matrice Flips figura su, producendo un'immagine speculare. Le matrici possono anche distorcere le regioni e ruotarle, ma queste informazioni non sono fornite dal determinante.
Aritmeticamente, l'azione di trasformazione di una matrice è determinata mediante moltiplicazione della matrice. Se A è una matrice 2 × 2 con riga superiore [ a b ] e riga inferiore [ c d ], allora [1 0] * a = [ a b ] e [0 1] * a = [ c d ]. Ciò significa che A prende il punto (1,0) to il punto ( a, b ) e il punto (0,1) al punto ( c, d ). Tutte le matrici lasciano l'origine impassibile, quindi si vede che A trasforma il triangolo con gli endpoint a (0,0), (0,1) e (1,0) a un altro triangolo con endpoint a (0,0), ( a, b ) e ( c, d ). Il rapporto tra l'area di questo nuovo triangolo e quello originale del triangolo è uguale a | ad-BC |, il valore assoluto di | a |.
Il segno del determinante di una matrice descrive se la matrice capovolge una forma. Considerando il triangolo con gli endpoint a (0,0), (0,1) e (1,0), se una matrice A mantiene il punto (0,1) stazionario mentre prende il punto (1,0) fino al punto (-1,0), allora ha capovolto il triangolo sulla linea x = 0. Da quando ha fatto girare la figura sopra, | a | sarà negativo. La matrice non cambia le dimensioni di una regione, quindi | a | Deve essere -1 coerente con la regola che il valore assoluto di | a | deScribes quanto allunga una figura.
Matrix Aritmetic segue la legge associativa, il che significa che ( v *a)*b = v *(a*b). Geometricamente, ciò significa che l'azione combinata per trasformare prima una forma con la matrice A e quindi trasformare la forma con la matrice B equivale a trasformare la forma originale con il prodotto (A*B). Si può dedurre da questa osservazione che | A |*| B | = | A*b |.
L'equazione | a | * | B | = | A*B | ha una conseguenza importante quando | a | = 0. In quel caso l'azione di A non può essere annullata da qualche altra matrice B. Questo può essere dedotto notando che se A e B erano inversa, allora (A*B) non si estende né lancia alcuna regione, quindi | A*B | = 1. Dal momento che | A | * | B | = | A * B |, quest'ultima osservazione porta all'equazione impossibile 0 * | B | = 1.
La richiesta di conversa può anche essere mostrata: se A è una matrice quadrata con determinante diverso da zero, A ha un inverso . Geometricamente, questa è l'azione di qualsiasi matrice che non si appiattisce aregione. Ad esempio, schiacciare un quadrato in un segmento di linea può essere annullato da qualche altra matrice, chiamata inversa. Un tale inverso è l'analogo della matrice di un reciproco.